CHAPITRE XIV. — SURFACES DÉVELOPPABLES. COURBES GAUCHES. ?.3l

M ,Trr i î\ , qui présente une lace rectangulaire \,\I,T,.

cosTMj Nj = sin i cos^ = aa, -- fâ\ -t- yy', ;

ajoutons alors les équations (10) multipliées par a, (3, y et divisons par // sin/. il vient

66. Développement de la surface. — Considérons deux surfaces développahles dont les arêtes de rebroussement soient défiâmes par une même équation intrinsèque relative à la courbure, celle qui se rapporte à la torsion différant de lune à l'autre ; considérons comme se correspondant sur ces deux surfaces les deux points qui correspondent sur chacune d'elles à un même système de valeurs de s et de /; la quantité h qui ligure dans les équations (7) prend alors des valeurs égales sur les deux surfaces et donne, par suite, une même valeur de l'arc ds, : la distance de deux points infiniment voisins situés sur l'une des deux surfaces est donc égale à la distance des deux points correspondants de la seconde. Cette inégalité s'étend évidemment à deux arcs finis correspondants.

Lorsque deux surfaces sont telles qu'on puisse établir entre elles une correspondance ponctuelle de cette nature, on dit que ces deux surfaces sont applicables lune sur l'autre; d'où le théorème suivant :

Théorème. — Deux surfaces développahles sont applicables l' une sur V autre lorsque, sur leurs dette arêtes de rebroussement, la courbure est une même fonction de l'arc.

Pour déformer une surface développable d'une manière continue, <le telle sorte qu'elle reste constamment applicable sur ellemême, il suffit d'agir sur son arête de rebroussement de manière à en faire varier en chaque point la torsion d'une manière continue, sans en modifier la courbure; on pourra arriver ainsi à planifier l'arête de rebroussement et nous avons vu qu'une courbe plane est complètement définie, intrinsèquement, par une relation donnée entre sa courbure et son arc. Une surface développable quelconque est donc applicable snr un plan.

Lignes géodésiques. Courbure géodésique. — Les formules

(-) et (12) montrent que les valeurs de i et de — ^— correspondant

à une même valeur de s ne sont pas altérées par la déformation que nous venons de définir. On eu conclut immédiatement le théorème suivant :

Théorème. — [Jongle sous lequel se coupent deux lignes tracées sur une surface développable est égal à celui sous lequel se coupent les deux lignes dans lesquelles elles se transforment quand on développe la surface sur un plan.

Théorème. — La courbure tangentielle, en un point donné d'une ligne quelconque tracée sur une développable, est égale à la courbure, au point correspondant, de la ligne plane correspondante.

On appelle, en général (§ 3o), ligne géodésique d'une surface une ligne sur laquelle se mesure le plus court chemin sur cette surface entre deux quelconques de ses points. 11 est évident que les lignes géodésiques ainsi définies restent géodésiques quand on déforme la surface en la laissant applicahle sur elle-même.

Dans le cas où cette surface est développable si on l'applique sur un plan, ses lignes géodésiques se transforment en lignes droites et jouissent seules de cette propriété. On en déduit immédiatement les propriétés suivantes qui appartiennent, comme nous le verrons, aux ligues géodésiques d'une surface quelconque :

1" Par deux points situés sur une même nappe de surface développable, on peut faire passer une ligne géodésique et une seule;

i° Toute courbe tracée sur une surface développable admet. en chacun de ses points, une ligne géodésique tangente;

3° La courbure tangentielle d'une courbe (C) tracée sur une surface développable en un point M est égale au rapport de l'angle de contingence géodésique à la différentielle de l'arc.

Nous appelons angle de contingence géodésique en un point M , l'angle £ sous lequel la ligue géodésique, tangente en ce point à la courbe (C), coupe la ligne géodésique tangente en un point M' infiniment voisin de Al (Jig. 2 ).