CHAPITRE XIV. — SURFACES DÉVEL0PPABLE6. COURBES GAUCHES
Envisagée à ce nouveau point de vue, la courbure tangent iel le prend le nom de courbure géodésique, sous lequel on la désigne le plus ordinairement.
Lignes de courbure. — Les normales à la développable le long de chaque génératrice étant situées dans un même plan, les génératrices forment un système de lignes de courbure, d'après la définition donnée dans le paragraphe précédent. Cherchons, en dehors de ces génératrices, dans quel cas la normalie relative à la courbe (C,) i fig. 84) sera développable. La normale en M| est située
Fie. 85.
à la fois dans le plan rectifiant de l'arête de rebroussement dont l'équation est
(r3) x'(X — a?) + fi'(Y — y) -+- y'( Z — z) = o
et dans le plan, mené en M, perpendiculairement à la génératrice, qui a pour équation
(14) ot(X — a?) -H p( Y — y) -t- y(Z — z) - I = o.
On aura la condition cherchée en écrivant que ces deux équations sont compatibles avec celles qu'on obtient en les dérivant par rapport à s. Or si l'on dérive l'équation (i 4), en tenant compte
de (i3), on a simplement
as
Cette relation étant indépendante des coordonnées x, y, z exprime la condition pour que (C|) soit une ligne de courbure ; en se reportant à l'équation (7), on voit que l'angle i doit alors être égal à — •
Les lignes de courbure dune surface développable sont donc les trajectoires orthogonales de ses génératrices.
2 "■ i DEUXIÈME PARTIE. — COURBES PLANES OU GAUCHES.
67. Développées et développantes. — L'arête de rebroussement dune développable et une trajectoire orthogonale quelconque de ses génératrices ont les mêmes propriétés relatives que le système formé par une courbe plane et l'une quelconque de ses développantes. Par exemple, toute ligne de courbure peut être engendrée par l'extrémité d'un fil qui s'enroulerait sur l'arête de rebroussement en restant constamment tendu. D'une manière générale, nous appellerons développée d'une ligne (C|) une seconde ligne (G) dont les tangentes rencontrent toutes la courbe (C,) et la rencontrent à angle droit; (C|) est dite inversement une développante de (--C). Si dans les formules (9) on fait i = — > elles
deviennent
%i= y.'. p, = p', yi= Y'-
La tangente à la développante est donc parallèle à la normale principale de la développée ; par suite, le plan rectifiant de cette dernière coïncide avec le plan normal de la développante. On en conclut que la caractéristique de ce plan normal n'est autre que la droite rectifiante de la développée et passe par conséquent par le point M. Toute développée d'une ligne à double courbure appartient donc à la surface polaire de cette ligne. En outre, le plan oscillateur de la développée est évidemment perpendiculaire à son plan rectifiant ; d'où l'on conclut que la développée est une ligne géode sique de la surface polaire.
Les développées d'une ligne à double courbure forment donc une famille de lignes géodésiques de la surface polaire. 11 en résulte, ainsi que nous l'avons vu (§ 34), que toutes ces géodésiques se transforment quand on applique cette surface sur un plan en un système de droites concourantes; que, de plus, le lieu des centres de courbure devient la podaire du point de concours de toutes ces droites, par rapport à la courbe transformée de l'arête de rebroussement.
Détermination analytique des développées. — Lue développée quelconque est l'arête de rebroussement d'une développable dont la développante est une ligne de courbure. Un plan langent à la développante (C) a pour équation, en faisant usage de nos notations ordinaires,
(1 5) ( sc'+ Xa" ) (X — x) -+- ( P'-H Xp' )( Y — y) -+- ( 7' - À 7 ') (Z — z) = o.
