CHAPITRE XIV. — SURFACES DÉVELOPPABLES. COURBES GAUCIIHS

A élant une fonction de s\ il faut déterminer cette fonction X <lc telle sorte que la caractéristique de ce plan et la tangente à (G) au point (xyz) soient rectangulaires, c'est-à-dire en appelant \. B, C les coefficients de l'équation (i5) de telle sorte qu'on ait

(16) A'(Hv — G 3.)-+- B'(Ca — Ay)-4-G'(AS — Ba) = 0,

les accents désignant ici les dérivées prises par rapport à s\ à chaque fonction \ ainsi déterminée correspondra un plan mobile dont l'arête de rebroussement sera une développée de la courbe (C). Or le premier terme de l'équation (16) a pour valeur

et cette équation (i(3) se réduit à

d'où

, r ds

arc tangA = —.

Les développées d'une ligne à double courbure quelconque s'obtiennent donc toujours à l'aide d'une quadrature. On voit, comme on pouvait s'y attendre, que si deux courbes différentes ont la même équation intrinsèque relativement à la torsion, elles ont, au point de vue analytique, le même système de développées.

Remarque. — La méthode précédente peut être appliquée à la solution d'un problème un peu plus général. Considérons une droite mobile ayant pour équations

(171 a? = a z -t- jo, y = bs -4- q ,

a, b, />, q étant fonctions d'un paramètre t et cherchons une courbe telle que chacune de ses tangentes rencontre à angle droit l'une des positions de cette droite mobile qui n'est plus dès lors assujettie. à décrire une surface développable. La courbe cherchée peut encore être considérée comme l'arête de rebroussement de la développable engendrée par le mouvement d'un plan ayant pour