DEUXIÈME PARTIS. — CHAPITRE XIV

équation

08 ) .)■ — (( z- — /> — a i y — bz — q ) = o.

). est alors une fonction de / et Ton doit, comme ci-dessus, la déterminer par la condition que la caractéristique soit perpendiculaire à la droite (17).

On trouve ainsi

(191 /.'(«- — b- — r- 1 — ab'\- — ( bb' — aa' )X — ba' = o.

On sait que toute équation de cette forme peut être intégrée pur une seule quadrature quand on en connaît deux solutions particulières. Or c'est précisément ce qui arrive ici. Le plan (18) devient en effet isotrope si l'on prend pour A l'une des deux racines de L'équation du second degré.

(20) a2 -f- 1 -h (a -+-Xô)» = o.

Si la droite (17) reste tangente à une courbe donnée, la développable engendrée par chacun de ces deux plans isotropes admet cette courbe comme ligne de courbure et son arête de rebroussement donne bien une solution de la question proposée. Si la droite mobile engendre une surface réglée de l'espèce la plus générale, la même conclusion subsiste : les équations (19) et (201 étant, l'une et l'autre, indépendantes de p et de q. On peut d'ailleurs vérifier directement que chacune des deux fonctions définies par l'équation (19) satisfait à l'équation (18).