ÉTUDE DE LA SURFACE AUTOUR D'UN POINT QUELCONQUE

Définitions et notations; normale et plan tangent. — Disposition de la surface par rapport a son plan tangent; DIRECTIONS ASYMPTOTIQUES, DIRECTIONS PRINCIPALES.

Courbure des sections normales; indicatrice de Dupin. — Mouvement de la normale; propriétés caractéristiques des directions principales; formules d'O. Rodrigues; surface dont tous les points sont des ombilics. — Calcul des éléments de l'indicatrice en un point quelconque de la surface. — Ordre de contact de deux surfaces.

68. Définitions et notations. — Une surface est, par définition, le lieu des points M dont les coordonnées a?, r, ^ vérifient une équation unique

Nous supposerons en général les coordonnées x, y, z rectangulaires; nous supposerons de plus que, dans la portion de surface que nous étudierons, la fonction^* soit continue et admette des dérivées partielles d'ordre quelconque également continues;

o i • j ' • - i • i àf df ôf ,

uu enfin les trois dérivées du premier ordre -=-> —-f — ne s an- 1 r ox oy az

îmlent pas toutes les trois en un même point, c'est-à-dire pour un même système de valeurs de x, y, z; celte circonstance ne peut d'ailleurs se produire que sur des surfaces particulières et en des points particuliers dune telle surface, qu'on nomme points singuliers.

D'après cela, l'équation f= o est résoluble par rapport à l'une au moins des trois variables, par exemple par rapport à z, qui est alors une fonction régulière des autres x, y. Il est d'usage de représenter par p, q, r, s, t les dérivées partielles du premier et du second ordre de z supposé exprimé explicitement en fonction de x et dey, ce qui revient à poser

dz dz

~dx ~p' ~ày ~ q'

(2) <j d*-z dp &*z dp dq d"- z dq 1 dx2 dx ôx dy dy c)x dy2 ôy

f dz = p dx -+- q dy, dp = r dx -f- s dy, dq = s dx ■+- t dy.

Normale et plan tangent. — D'après les conditions imposées à la fonction f (x,y, 5) la fonction implicites peut être développée par la série de Taylor et l'équation de la surface peut être mise sous la forme

-h - [r(x — x0)--+- is(x — x0) (y—yo) -+- t(y—y0y] •+-...,

p, q, /•, s, t étant les valeurs que prennent les dérivées partielles au point x0y0 z0. Supposons qu'on passe du point M0 au point INI en suivant, sur la surface, une courbe donnée (G); en appliquant à cette courbe les notations que nous avons adoptées, en général, pour les lignes à double courbure et désignant par / la longueur de l'arc M0M, nous aurons

et des formules analogues pour y — y0, z — z0. Si nous portons dans l'équation (3) ces valeurs de x — x0, y — y0, z — z0, elle doit se réduire à une identité et les coefficients d'une même puissance de /doivent être égaux dans les deux membres; nous avons,