CHAPITRE XV. — ÉTUDE DE LA SURFACE Al TOUK D'UN DE SES POINTS

en égalant les coefficients de /,

el en égalant les coefficients de I-

{ 6 ) 1 '— '-^- = ra« -4- iszli ■+■ / p«.

Nous interpréterons plus loin l'équation (G) ; quant à l'équation (5), elle exprime que la tangente à une courbe quelconque tracée sur la surface, et passant par le point M0, est perpendiculaire à la droite lixe dont les coefficients de direction sont — /?0, — qn, +i. Celte droite est la normale au point M0 ; le plan tangent qui contient tous les déplacements infiniment petits qu'on peut effectuer sur la surface autour du point M0 est perpendiculaire en ce point à la normale et a pour équation

i 7) pi* — xo)-+ qiy—y») — (*— ■ z9) =o.

Disposition de la surface par rapport au plan tangent. — Prenons pour origine le point M0 et pour axe des z la normale en ce point; dans l'équation (3) de la surface nous devons faire r„ = j'n = z0 = />,) = '/o = o et cette équation devient

(8) 'i.z = (rx- — -isxy -+- ty% > -t- («.r3-H îbx-y -t- 3cxy*-h gyh) -+-. . . .

La surface coupe donc le plan tangent en O suivant la courbe qui a pour équation dans le plan des xy

O = rx'1^- isxy -+- ty- -+- ax:i-h ibx-y -+- icxy2-h gy3-^ ■ ■ • ,

et l'on voit que la section a l'origine O pour point double ; on en conclut que la section faite dans la surface par le plan tangent en un point quelconque admet ce point comme point double. Les tangentes au point double peuvent être réelles ou imaginaires conjuguées; dans tous les cas elles admettent un système, au moins, de bissectrices réelles, perpendiculaires entre elles, que nous appellerons les deux directions principales et que nous pourrons prendre pour axes des x et des y; dans ces conditions, l'équation

/■.r2-f- ■t.sxy -+- ty- = o,

qui détermine les deux tangentes au point double ne doit plus

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