TROISIEME PARTIE

COIRRES TRACEES SIR l NE SURFACE.

contenir do termes en xy ; on aura donc s = o et l'équation de la surface de\iendra

2 z = rx- -+- ty2 -+- ax3 -h 3bx-y

Prenons maintenant sur la surface un point M voisin du point O ; soient / la distance OM, es l'angle que fait avec OX la projection OP de OM sur le plan XOY; l'équation (g) peut s'écrire, en remarquant que MO et OP sont des infiniment petits équivalents,

(io) ïMP = (/■ cos2cp -+- t sin2cp)/--+- (a cos3cp -+- >b sincç cos2o -i-...)/3-i-....

Si donc / est infiniment petit, la distance MP est en général du

Fis. 86.

deuxième ordre; elle s'élève au troisième ordre lorsque ( >P coïncide avec une des tangentes au point double ; nous appellerons directions asymptotiqu.es les directions de ces tangentes: la disposition de la surface par rapport à son plan tangent dépend de la nature des directions asymptotiques ; nous distinguerons les cas suivants :

i" /• et t sont de même signe; les directions asymptotiques sont imaginaires, le point O est par conséquent un point isolé de la section ; le terme en l- de l'équation (io) ne s'annule pour aucune valeur de o, MP conserve un signe constant pour de petites valeurs de /, donc les points voisins de O sont tous d'un même coté du plan tangent en O; la surface est alors disposée par rap-