CHAPITRE XV. — ÉTUDE DE LA SURFACE AUTOUR 1)1. \ DE SES POINTS

porta ce plan comme le serait un ellipsoïde; le point G est dil elliptique.

2° /• et t sont «le signes contraires; les directions asymptotiques sont réelles; le point O est un point double de la section, à tangentes distinctes; ces tangentes partagent le plan tangent en quatre régions {fig. ^~ i. Les valeurs de MP ont le même signe

Fig. 87.

pour les points M qui se projettent dans les régions (i) et (.3); elles ont un signe contraire au précédent si M se projette dans l'un des deux angles (2), (4). La surface est donc, au pointO, traversée par son plan tangent et se comporte comme un paraboloïde hyperbolique ; le point O est dit hyperbolique.

3° L'un des coefficients r, t est égal à zéro. Les directions asymptotiques se confondent avec l'une des directions principales, OX par exemple ; les deux branches de la section se touchent en ce point; la distance MP est constamment du second ordre, sauf le cas où M se projette sur la droite OX. La disposition de la surface par rapport au plan XOY, dans le voisinage du point O, présente la même indétermination que celle d'une surface développable, dans le voisinage d'un point de son arête de rebroussenient; le point O, dans ce cas, est dit parabolique.

69. Courbure des sections normales. — Si le point O est elliptique, tous les points voisins sont situés du même côté du plan tangent; la région de l'espace qui les contient s'appelle la région de la concavité; nous conviendrons de prendre pour direction de la normale au point O celle dune demi-droite qui irait du point O dans la région de la concavité ; si le point est hyperbolique, les deux plans menés par la normale et chacune des directions asymptotiques coupent la surface en deux segments dont les concavités sont tournées en sens contraires; il y a lieu de distinguer alors des directions opposées pour la normale, suivant que le

24a TROISIÈME PARTIE. — COIRBKS TRACÉES SUR UNE SURFACE.

déplacement OY1 aura lieu sur l'un ou l'autre de ces segments.

Si l'on imagine un plan sécant tournant autour de la normale OZ,

la courbure de la section faite par ce plan dans la surface est

une fonction donnée de l'angle o, le rayon de courbure R est

égal à la limite du rapport ; on a donc, en appliquant la for-

mule (10),

— = /• cos2o -i- t sin2c.

Nous appellerons sections principales, les sections normales menées parles directions principales; courbures principales, les courbures des sections principales ; nous aurons alors, en faisant dans l'équation précédente o = o ou cp = - et désignant par rr- et ■=- les courbures correspondantes,

et, pour une section normale d'azimut <p, (12) - = ^-cos*<p-i- p-sin8<p.

Cette relation détermine de la manière la plus nette la forme de la surface dans le voisinage d'un point donné ; on en déduit immédiatement les conséquences suivantes :

i° La courbure s'annule, il y a, autrement dit, une inflexion au point O pour chacune des deux sections normales menées par les directions asymptotiques ;

i° La courbure d'une section normale atteint sa plus grande et sa plus petite valeur quand le plan sécant passe par l'une ou Vautre des directions principales ;

3° La somme des courbures de deux sections normales rectangulaires est constante et égale à la somme des courbures principales.

Remarque. — La lettre R représente ici, non le rayon de courbure de la section normale qui est, par définition, essentiellement positif, mais la projection de ce rayon de courbure sur l'axe OZ;