CHAPITRE XV. — ÉTUDE DE LV SURFACE AUTOUR D'UN DE SES POINTS

or cet axe OZ peut avoir même direction que la normale intérieure ou la direction opposée ; nous devrons donc, dans l'étude des sections normales d'une surface, considérer la courbure comme pouvant prendre des valeurs positives ou négatives, suivant les cas.

Indicatrice de Dupin. — Les propositions relatives à la courbure des sections normales peuvent se résumer de la manière suivante ; appelons indicatrice la conique qui a pour équation dans

le plan des xy

rx--\- ty"1 = i,

et soient £, yj les coordonnées du point u. de cette conique qui correspond à l'angle o, en sorte qu'on aurait

\ = O ijl cos q, •») = O \± si il cp ;

on a, en exprimant que le point est sur l'indicatrice,

r cos2cp -+- t sinzcp

d'où le théorème suivant :

Théorème. — Le rayon de courbure d"1 une section normale i/uelconque est égal, en grandeur et en signe, au carré du rayon, réel ou imaginaire, correspondant de V indicatrice.

Ombilics. — Lorsque l'indicatrice est un cercle, le point O prend le nom d'ombilic ou de point circulaire ; en un ombilic, les courbures principales sont égales; toutes les directions sont des directions principales et les directions asjmptotiques sont isotropes.

70. Mouvement de la normale. — Cherchons maintenant comment varie la direction de la normale à la surface quand on passe d'un point M au point M' infiniment voisin. Nous prendrons pour ces directions de la normale en M les trois quantités

(.3; >=T' <x=:ïr' V==ÏT

H étant défini par la valeur arithmétique du radical

Lorsqu'on passera de M en M', ces cosinus prendront les accroissements suivants :

dl =-

r a. ■+■ s 6 . , dU ~ H cU^Pu>>

dv. = -

s<x -+- t[i ,. dli ~ H ^ + ?H*'

rfH

( H dU = p dp -+- g dq ) .

Si maintenant nous prenons pour origine des coordonnées le point M, pour axes des x et desyles directions principales correspondantes, nous devrons faire

/ x = y = z=p = q = s = o, a = coscp, [3 = sina, H = i, dU = o, (i5) i

et nous aurons pour les accroissements des cosinus directeurs de la normale, correspondant à ce déplacement dl de M :

coscp sincp

«À = — L a/, au = — — «/, av = o.

Ri t\2

On en déduit d'abord pour l'angle des deux normales en M, ( )

(nn')2 /cos2° sin2<3

(l6) VNNV=^__, + X^^.

Cherchons maintenant la direction de la perpendiculaire commune aux deux normales, leur plus courte distance et le point central.

La projection de la normale en M sur le plan des x, y a pour

équation

sincp coscp

x, y étant les coordonnées du point P {Jig- 86) ont pour valeurs dl cosz>, dlsino; cette équation peut donc s'écrire :

X sincc Ycoscc / i i \ . .,

d'où, en appelant o la plus courte distance des deux normales et