CHAPITRE XV. — ÉTUDE DE LA SURFACE AUTOUR D'UN l>E SES POINTS

tenant compte de l'équation (16)

tir- t i /\

dl'1 l ' I \ ,

o «(--- j,,n?coiT.

Enfin, le Z 1I11 point central de la normale du point O est donné par la formule

cos2'^ si n2 ci (19) Z =

cos"-<p sin-o

Les formules (16), (17) et (18) font connaître tout ce qui concerne deux normales infiniment voisines ; quand le déplacement a lieu suivant une direction pi^incipale, elles mettent en évidence certaines propriétés très importantes dont chacune caractérise cette direction et peut lui servir de définition.

Cherchons, par exemple, dans quel cas la plus courte distance 0 sera un infiniment petit d'ordre supérieur au premier et, par suite, du troisième ordre au moins, d'après le théorème de Bouquet.

D'après la formule ( 17), il faut pour cela, si le point O n'est pas

un ombilic (-^ - = — )■, que l'angle <p soit égal à zéro ou — > cette condition est d'ailleurs suffisante; donc, pour que la plus courte distance de deux normales en des points infiniment voisins M, M' soit infiniment petite d'ordre supérieur au premier, il faut et il suffit que le déplacement MM/ ait lieu suivant une direction principale. Une autre proposition caractéristique consiste en ce que, pour un déplacement effectué suivant une direction principale, le point central de la normale coïncide avec le centre de courbure de la section normale correspondante.

Si, en efîet, on remplace Z par R dans l'équation (19) en tenant compte de l'équation (12), on a, après simplification :

iib-ïb

ce qui ne peut avoir lieu que pour cp = o, à moins que le point O ne soit un ombilic, c'est-à-dire que toutes les directions ne soient des directions principales.

•ifà TROISIÈME PARTIE. — COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE.

Théorème d^O. Rodrigues. — Soient D une direction lixe quelconque, mm! la projection d'un déplacement MAI' sur cette direction, N, N' les directions des normales en M et en VI': nous aurons, en appelant £, rn Ç les cosinus directeurs de D,

cosyND ) =X£ -+- [jw, -+- vÇ,

cos(N'D) — cos(N, D) = \ dk -+- ï) rfjjL -+- Ç rfv,

mm1 = (ajj -+- fi-rj -+- y£) flM,

d'où

)S (n'DJ — COS ( ND ) ; rf>. -+- ïj C?{i

( a£ -T- Bn — vC > «M

ou, en simplifiant par le choix des axes de coordonnées et l'application des formules (io),

t coscp sincp

rfcos(ND) Î RT ^"TÏT

i coso -1- 7] sino

Pour cjue le second membre soit indépendant de Ja direction D, c'est-à-dire de \ et de rn il faut et il suffit, si coss sinç est différent de zéro, qu'on ait -jt- = tt-j c'est-à-dire que le point O soit un

ombilic ; d'ailleurs, si o est égal à zéro ou à -» ce rapport se réduit à

— 5- ou — — • Les directions principales sont caractérisées par Ki K2

p • 1 o?cos( ND) , , , 1 1 j-

ce fait que le rapport ; — est indépendant de fa direction

fixe D; on voit, d'autre part, que ce rapport est égal et de signe contraire à la courbure principale correspondante.

Si nous revenons à des axes quelconques et que nous appliquions le théorème aux trois directions fixes OX. 0\ , OZ, nous aurons, pour tout déplacement effectué suivant une direction principale,

dï. d\x dv 1

dx dy dz K

ce sont les formules dues à O. Kodrigues.

Comme application, cherchons quelle est la surface dont tous les

points sont des ombilics. Pour cela, supposons X, u., v, tt exprimées

à l'aide des variables x ely, nous aurons, d'après la première for-