CHAPITRE XV. — ÉTUDE DE LA SURFACE AUTOUR D'UN DE SES l'OINTS. 'i
mule (i 9),
on en conclut
- dx \ dy ■=■ — 77 dx,
dx dy ■ R '
dy ~~ dx R
A se réduit donc à une fonction de la variable .r et — 77 est indé-
pendant de )'. On verrait de même, en parlant de la seconde équation (19) que — -rr est indépendant de r, c'est donc une simple constante que nous représenterons par ; les équations (19)
s'intègrent alors immédiatement et l'on a, a;,), r0, s0 étant des constantes,
x = ./„- «X, y = y0 -+- a \j., 5 = i0+av,
d'où
(x — x^y-h (y—yo)2-+ (z-r- 2o)2= a* ^--^ f*2-t-v2 = 1 1.
La sphère est donc la sente surface réelle dont tons les //oints sont des ombilics.
Remarque. — Les ombilics d'une surface sont, en généra], des points isolés les uns des autres; cela tient à ce qu'il faut écrire deux relations entre les coefficients de l'indicatrice pour exprimer qu'elle se réduit à un cercle; il peut arriver cependant que les deux équations ainsi trouvées se réduisent à une seule en vertu de l'équation de la surface; dans ce cas, il y aurait, non plus des ombilics séparés, mais des lignes d'ombilics.
71. Détermination de lindicatrice. — D'après ce qui précède, on connaîtra toutes les propriétés de la surface en un point quelconque si l'on sait déduire de l'équation de la surface les directions principales en ce point et les rayons de courbure principaux; pour cela, nous définirons d'abord ce qu'on entend par directions conjuguées.
Considérons deux points M, M infiniment \oisins; le plan langent en M' coupe le plan tangent en M suivant une droite qui a pour limite la caractéristique du plan tangent en M lorsque M' se rapproche indéfiniment de M. Soient \) la direction de l'élément MM', A celle de la caractéristique. 0 et 'l les angles que font ces
■>. jN TROISIÈME PARTIE. — COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE.
deux directions avec lune des directions principales au point M, A ('tant évidemment perpendiculaire aux deux normales en M et en M'. Le coefficient angulaire de cette dernière étant, d'après
l'équation (17). égal à— 'tangcp, on a entre les angles z> et 'l la
relation
Ri
tang'f tang^=— — .
On voit, d'après la symétrie de celte relation, que les droites D et A sont réciproques l'une de l'autre; pour cette raison, on leur donne le nom de directions conjuguées ; elles sont parallèles à un système de diamètres conjugués de l'indicatrice ; une direction variable D et sa conjuguée A engendrent par conséquent deux faisceaux en involution ayant pour rayons doubles les directions asymptotiques ; un pareil faisceau admet un couple de rayons rectangulaires qui sont ici les directions principales ; un ombilic est un point autour duquel toute direction est perpendiculaire à la direction conjuguée.
i° Directions conjuguées. — Désignons par d un accroissement dû à un déplacement effectué suivant la direction I); par 0 un accroissement résultant d'un déplacement effectué suivant la direction conjuguée A; par A, B, C, trois coefficients de direction de la normale au points. >', z, le déplacement 0 étant perpendiculaire à la normale en M et à la normale en M', on a
A Sa- -+ B ûj + Go- = o, (A + dA)8a?+(B-hrfB)8^-+-(C-+-rfC)8,s = o;
la condition pour que les deux déplacements aient lieu suivant des directions conjuguées est par conséquent
(21) dk oJ + rfBo/ + rfGo; = o,
qu'on peut écrire, puisqu'il y a réciprocité,
(21 ) 8A <lx -+- oB dy -4- oC dz = <>.
Si L'équation de la surface est f( .r. y, z) = o, on peut prendre
pour A, B, C les dérivées partielles — < — > — ; si cette équation est
1 * ii.i- oy Oz' *
supposée résolue par rapport à s, il convient de prendre />, q, — 1 pour coefficients de direction. La relation (21) se simplifie alors
( Il IPITRE W
et do vie ni
ÉTUDE DE LA SURFACE AUTOl'K ù'CN DE SES POINTS. 'i'i
dp or ■+- dq oy = o,
ce (|iu peul encore s'écrire
( :>> l /' dx 8x -T- SI dy o r -+- oy d.r) -h t dy or = 6.
Cette forme met en évidence la réciprocité des deux directions conjuguées.
2° Directions asympto tiques. — Une direction asymptotique coïncide avec la direction conjuguée. Nous aurons donc ces directions en remplaçant dans les formules (ai) et (22) les 0 par desrf, ce qui donne
dX dx 4- dB dy 4- </C dz = o, r dx'1 -t- 2 s dx dy 4- t dy'1 = o,
ou, en remplaçant dj\ dy, dz par les cosinus directeurs qui leur sont proportionnels.
dk dB dC /dB dC\ 0
dx dy r dz ' \ de djK/
dC âk\ /dk dB\ a
A a -t- B[3 -t- G y = o, r y.1 — 2sx(j -h / B2 = o, y — ^a — 9$ — °*
3° Directions principales. — Pour que deux déplacements conjugués soient rectangulaires, il faut qu'on ail
ox dx -t- oy dy -+- oz dz = o.
Si l'on élimine oa?, 01', oc. entre cette équation et les suivantes : A Sx -^ B 0/ -+- G o.r = o, dk ox -+- dB dy -t- dC oz = o. il vient, pour l'équation des directions principales,
c/.r rfy f/e A B G dk dB dC
Cette équation est homogène et du second degré par rapport à dx, dy. dz qu'on y pourra remplacer par les cosinus directeurs a, P, Y-
•25o TROISIEME PARTIE. — COURBES TRACEES SUR UNE SURFACE.
Si nous faisons, dans l'équation (25), A =/>, B = <y, C = — i , elle devient
dp(dy -+- q dz) — dq ( dx -t- p dz ) = o,
ou, en remplaçant dx, dy, dz par a, [3, y et y par p a. -\- q $ ,
ou enfin
(■26) a*|>srr-s(H-/>2)]
-f-ap[(H-gr»)r — (H-/>2)<]-+- P2[(l4- ?2) 5— />£*] =0.
4° Ombilics. — On peut obtenir de plusieurs manières les équations des ombilics; si l'on exprime que l'équation (26) est vérifiée,
quel que soit le rapport— 5 on a
l -h p'2 pq 1 -4- q'1
On obtient ces mêmes équations en écrivant que les directions asymptotiques correspondent avec les directions isotropes du plan tangent ; celles-ci sont en effet définies par l'équation
a2-+- fi* -l- (/>a-|- 7 P)S=o,
et si l'on écrit qu'elle a les mêmes racines que l'équation (24), on retrouve bien les équations (27).
5° Courbures principales. — Désignons par R le rayon de courbure de la section normale dont le plan contient la direction D(ajiJy) ; R s'obtient en faisant dans la formule (6)
d'où
H' p II' ' h
— = /-a2-f- isafi -+■ t$-.
Si l'on pose — = -j-, cette équation peut se mettre sous la forme
homogène
(1 -t-/?2 )a2 -+- 'ipq otp -H (l -+- 7*)p* = ( /-x2 4- 2 ..va,S -t- * 32 U\ OU
(H-/>2 — À~/')a2-f- '±(pq — ks) afi -t- (H- r/2— /.7 i^2= o.
