CHAPITRE XV. — ÉTUDE l)lî LA SURFACE AUTOUR D*UN DE SES POINTS. > "> I
Cette équation détermine les deux directions dans lesquelles la courbure de la section normale a une valeur donnée; pour avoir les valeurs maxima et minima de cette courbure, il suffit d'exprimer qu'elle a ses racines égales, ce qui donne pour l'équation des courbures principales
(pq — ksp= (i-+-/>2— kr)( i-f- q*—kt i.
ou, en ordonnant,
t 28) Â2(/7 — s-) — k[(l-\-pi)t -+- (H- q2)r — ipqs\ -+- H2= o.
On en déduit pour la somme et le produit des courbures principales
[ -4- /D2 ) / -+- (i -+- q'1 )/• — xpqs
(28 bis)
rt — s-
Remarque. — Si l'on dérive ces deux formules, par rapport à x et à y, et qu'on fasse usage des formules de simplification (i5), on obtient immédiatement, pour les valeurs réduites des dérivées
oartielles du troisième ordre de z,
\<Wo
te)
te)
te)
dx ôy- J 0
\<Wo
72. Application aux surfaces du second ordre. — Toutes les sections faites, dans une quadrique, par des plans parallèles sont bomothétiques et leurs asymptotes sont, par conséquent, parallèles ; la section se réduit au système des deux génératrices qui passent en un point M, lorsque le plan sécant devient, tangent en ce point à la surface ; d'où il résulte que l'une quelconque des sections parallèles au plan tangent (la section centrale, par exemple, si la surface a un centre) peut remplacer l'indicatrice dans l'étude de la courbure normale autour du point M ; en particulier, les directions principales au point M sont parallèles aux axes de la section plane considérée.
'>' TR01SIKMK PARTIE. — COURRES TRACKKS SUR UNK SURFACE.
Ceci posé, proposons-nous de calculer, à l'aide des formules précédentes, les cléments de L'indicatrice et la courbure normale d'une Ligne quelconque tracée sur l'ellipsoïde
x2 y2 z* a1 b2 ci
on a, pour déterminer les valeurs de p, q, r, s, t,
i /;- rz pq ^s 1 q2 zt
011 déduit des deux premières
P étant la distance du centre au plan tangent en M. Si l'on multiplie maintenant les trois dernières par a2, 2a(3, (32 et qu'on les ajoute(a, (3, y étant les cosinus directeurs du déplacement MM'), il vient
d'où, en appelant I) la longueur du demi-diamètre parallèle au déplacement MM' et en tenant compte de la relation y =pcc -+- qfi,
d'où, enfin, pour le rayon de courbure normale R„,
Donc :
Théorème. — Le demi-diamètre parallèle à un déplacement quelconque est moyen proportionnel entre le rayon de courbure normal correspondant et la distance du centre au plan tangent.
Remarques. — i" Si l'on écrit que l'équation (28) a ses racines égales, on a une condition qui peut, après quelques transforma-
