p- pq I -T- q

2° La demi-somme et le produit des courbures principales ont reçu les noms de courbure moyenne et de courbure totale. L'équation rt — s2 =o détermine, sur une surface quelconque, la ligue des points paraboliques; si cette équation se réduit à une identité, en vertu de l'équation de la surface, l'une des courbures principales est nulle en tous les points de la surface ; l'équation précédente est alors l'équation aux dérivées partielles des surfaces dont la courbure totale est nulle en chaque point. Il est aisé d'obtenir, sous forme finie, la définition géométrique d'une pareille surface ou, en d'autres termes, d'intégrer l'équation rt — s2 = o. On peut en effet l'écrire

dp dq dp dq o.r dy dy àx

Elle exprime sous cette forme que q est une fonction de p.

Posons alors

px-hqy — x = u, q=*(p),

et différentions la première en tenant compte de l'équation p dx -4- q dy — dz = o, il vient

du = x dp -l- y cp' ' ( p) dp,

u est donc également une fonction de/?; on a ainsi, dans toute l'étendue de la surface considérée,

(29) px-*-yy(p) — z = <K/>),

avec la condition

>">i TROISIÈME PARTIE. — COURUES TRACÉES SUR UNE SURFACE.

Les équations (29) et (3o) donnent, en éliminant/?, l'équation de la surface cherchée ; celle-ci est donc l'enveloppe du plan mobile à un paramètre a

ax -t- y <f(a) — z = <l(a).

C'est l'une des définitions que nous avons données des surfaces développables.

73. Ordre de contact de deux surfaces. — Soient deux surfaces S, S' ayant en commun un point O que nous prenons pour origine ; considérons, comme se correspondant sur les deux surfaces, des points M, M' situés sur une parallèle à OZ. et soit P le pied de cette droite MM' sur le plan des xy; nous aurons, en conservant les notations ordinaires,

MP = px -+- q y H (rxi-+- isxy -t- ty*)

-+- -(a x* -+- 3 b x*y -+- 3 c x y1 -+- gy*) -+- . .., M'P =p' x-h q' y h — (/-' x- -his'xy -+- t' x*)

- (a' x3 +- 3b' x-y-h c'xy2-h g' y3)

d'où

(3i) MM'=(p' — p).r -±-(q' — q)y -+- ~[(r' — r)x9- -h -j.(s' — s)xy -h (t' — t)x^\

Pour que S et S'aient, au point O, un contact de Tordre n (§ 58), il faut et il suffit, par définition, que tous les termes de ce développement soient nuls jusqu'à ceux du degré n inclusivement. Le contact sera donc du premier ordre si les deux surfaces ont même plan tangent en ce point, les trois différences /•' — /•, s' — s, t' — t n'étant pas nulles en même temps; iJ s'élèvera au second ordre si l'on a r'==r, *'==*, t' = /, c'est-à-dire si les deux surfaces ont mêmes directions asymptotiques et mêmes courbures principales, au troisième ordre si l'on a, en outre, a = a', b = b' , c = c', g = g'. Or, si nous prenons pour axes des x et des y les tangentes principales connues, ces équations expriment, d'après les formules