CHAPITRE XV. ÉTUDE DE LA SURFACE AUTOUR D'UN DE SES POINTS

réduites (28 bis), que les dérivées partielles du premier ordre de chacune des deux courbures pricipales sont égales sur les deux surfaces.

On peut ainsi obtenir, de proche en proche, les conditions d'un contact d'ordre quelconque; il est d'ailleurs facile de leur donner une forme géométrique indépendante de tout choix particulier des axes. Soit H (x, y, z) une fonction quelconque des coordonnées i\'\m point M situé sur une surface donnée; si l'on imprime à ce point M un déplacement infiniment petit dans la direction (a, P, y), H prend un accroissement infiniment petit dH, et le rap-

port —r?) à la limite, est ce qu'on appelle la dérivée géométrique de H, prise dans la direction (a, (3, y); d'une manière générale, la dérivée géométrique d'ordre À- sera, par définition, la dérivée géométrique de celle d'ordre  — 1. Cette définition est évidemment indépendante de tout système de coordonnées ; et nous aurons pour la dérivée géométrique d'ordre n, prise dans la direction déterminée par l'angle XOP == <p, la formule réduite :

r,(») .. , d«H n à"ll ' , . à»H .

DvlllJ, y) — - cos"o-(--- — — cos"-' cp smcp -H. ..h sin"o.

y ' J ' dx" ' 1 dx»-1 dy ~ ' àyn T

Si maintenant nous revenons aux conditions trouvées plus haut pour un contact du troisième ordre, nous arrivons, par une généralisation immédiate, au théorème suivant :

Théorème. — Pour que deux surfaces aient, en un point donné, un contact d'ordre n, il faut et il suffit :

1" Qu'elles aient en ce point même plan tangent et même di rec lion asymptotique;

2" Que les courbures principales soient égales sur les deux surfaces, ainsi que leurs dérivées géométriques prises dans une direction quelconque, Jusqu'à celle d'ordre n — 2 inclusivement.

Remarque. — On voit, d'après la formule (3i), que si les deux surfaces ont, au point O, un contact d'ordre n, il y a n + 1 directions particulières suivant lesquelles MM' est un infiniment petit d'ordre n -+- 2 ; c'est en exprimant que ces conditions spéciales sont indéterminées qu'on obtient les conditions complémentaires relatives à un contact d'ordre n + 1 .

Remarquons encore que si, S étant donnée, S' dépend de k

arbitraires, on ne pourra déterminer S', par la condition d'avoir avec S un contact d'ordre maximum, que si À" est de la forme

Par exemple, l'équation générale des sphères dépendant de quatre paramètres, il n'y aura pas en général de sphère osculatrice, cela n'arrivera que si le point M est un ombilic de S et si le rayon de la sphère est égal à celui d'une section normale. (Pour plus de développements relatifs aux surfaces osculatrices, voir Hermite, Cours d' Analyse de VE. P., p. i35).

r.HAP. Wl. — COURBURES NOH.M AI.IC ET GEODESIQUE. TOBSIOIS GEODESIQUE. 237