CHAPITRE XVI
COURBURE NORMALE. - COURBURE GEODESIQUE. TORSION GEODESIQUE.
Théorème de Meusnier. — Courbure normale; courbure géodésique. — Torsion géodésique. — Tableau desrelations qui existent, en un point donne, entre les éléments de la courbe et ceux de la surface.
74. Théorème de Meusnier. — Nous conviendrons de prendre pour direction positive delà normale, en un point H d'une surface, celle qui est dirigée dans la concavité de la section principale de
courbure 5- . Soient MN la normale ainsi définie ( fig. 88); MT,,
Fie. 88.
MT2 les tangentes aux directions principales. Considérons une courbe L passant par le point M et située tout entière sur la surface; nous désignerons par cp l'angle que fait avec MT, k tangente MT à la courbe L, par fj l'angle de sa normale principale M/?
avec MN. Conservons pour cette ligue L les notations dont nous nous sommes servi dans la théorie générale des lignes à double courbure et prenons pourpoint de départ la formule
— ^ '— = ra!+ 2$aB -+- *B2,
établie au paragraphe 67, et qui se déduit d'ailleurs de la relation y — />a — çr[ïi =o en la dérivant par rapport à l'arc le long de la courbe (L); nous avons, en appelant A, u, v les cosinus directeurs de la normale MN,
p = — ÀH, q= — ;jlH, i = vH. H = y/i -+-p2 — g'1.
L'équation précédente peut donc s'écrire
Xa' + i*3'
-i-H = ra2 -h 2«aB -H /32,
OU
(i) — - — = ra*-+-2saB-H-*&2.
Si l'on applique cette formule générale à la section faite dans la surface par le plan normal TMN qui contient la tangente à la courbe L, et qu'on désigne par — la courbure de celte section plane? on a, en remplaçant 8 par zéro, R par R„,
(2) ^- = ra*-+-2ia3-H *B!
et si l'on égale les premiers membres des équations ( 1 ) et (2)
R = R„ cosÔ, d'où le théorème suivant :
Théorème. — Le rayon de courbure en un point d'une courbe quelconque située sur ht surface est égal au produit du rayon de courbure de la section normale qui contient la tangente à cette courbe par le cosinus de C angle que fait le plan de la section avec le plan osculateur de la courbe.
Ce théorème peut être mis sous une autre forme: il exprime en effet que le centre de courbure  de la ligne L est la projection du centre de courbure kn de la section normale sur le plan osculateur de L; on peut donc l'énoncer de la manière suivante :
CHAP. XVI. — connu RES NORMALE ET GEODESIQUE. TORSION GÉODKSIQUE. :>.')§
Théorème. — Le cercle de courbure en un point M d'une courbe que/conque tracée sur la surface s'obtient en coupant par le plan osculateur de cette courbe la sphère qui passe par le point M. et qui a pour centre le centre de courbure de la section normale qui contient la tangente à la courbe.
Nous avons trouvé au paragraphe 68 l'expression géométrique de la courbure d'une section normale d'azimut co; si nous substituons cette valeur dans l'équation ( i ) elle devient
cosO oos2œ siei2 cp i
() ~1T = "rT+ ~r7 = ïï7'
Remarque . — Lorsqu'il s'agira d'interpréter géométriquement un résultat obtenu par l'analyse, nous opérerons toujours de la manière suivante : nous prendrons momentanément pour axes des x, des y et des z les trois droites MT, , MT2, MN, ce qui nous permettra de remplacer dans la formule à interpréter les éléments
analytiques a?, y, z,p,q, 8 par zéro, H par l'unité, r et t par — et —
(formules § 08); nous devons y faire en même temps
/- coscf sinœ ,, dh = 5-i- dl, du. = — X cil, ch = o.
En ce qui concerne la courbe elle-même on remarquera que sa normale principale se projette sur le plan des x, y suivant la direction ï + -; ses cosinus directeurs par rapport aux axes simplifiés
sont donc : sin 9 cosf — h© ) , sin 8 sin (- -f-'fj, cos G ; et l'on en
déduira sans peine les cosinus directeurs de la binormale ; on aura en définitive à appliquer les formules de réduction suivantes:
x =y = z = o, p = q — o, H = i, X=o, [jl = o, v = r,
/• = -rr-, S = O, t= — ,
d\ coso d\± sinci ch
7if--~iC' ~dï==~lï^, dî = o;
a. = coscp, p = sin cp, y = o,
a' = — sinO sinca, [i' = -+- sin 0 coscp, y' = cos^;
a" = -t- cosO sincp, (â" = — cosOcoscp, y*= sin6.
7"). Courbure normale. — On appelle courbure normale de la limite L, en un point donné M, la courbure en ce même point de la projection de L sur Je plan mené par la normale à la surface et la tangente MT(' ). En appliquant le théorème relatif aux courbures dune ligne quelconque et de sa projection sur un plan, nous
avons pour la courbure normale l'expression —rr— ; la courbure
normale est donc égale à la courbure de la section normale tangente à L; en d'autres termes cette section plane et la projection de L sur le plan sécant ont, au point M, un contact du second ordre; c'est une autre manière d'énoncer le théorème de Meusnier.
Courbure géodésique. — Au lieu de projeter la courbe L sur
le plan normal qui contient la tangente MT, projetons-la sur le
plan langent à la surface ; la courbure de la projection au point M
est ce qu'on appelle la courbure tangentielle de la ligne L; sa
i î î ■ <ii i si n G
\aleur est, en vertu du théorème invoque plus haut, égale a
Si nous la désignons par — nous aurons la formule
cotÔ cos2o sin2 cp Rg- Rj R2
Si l'on mène en chaque point de la ligne L le plan tangent à la surface, la position de ce plan tangent dépendant d'un paramètre unique, il enveloppe une surface développable, circonscrite à la surface donnée suivant la courbe L, et dont la génératrice au point M est la tangente conjuguée de MT. La courbure tangentielle de L a évidemment la même valeur par rapport à la surface donnée et à la développable circonscrite; or nous avons vu que, si l'on applique cette dernière sur un plan, la courbure tangentielle
se conserve; on peut donc définir — comme étant la courbure de
la ligne plane dans laquelle se transforme la courbe L quand on applique sur un plan la développable circonscrite. Envisagée à ce point de vue, elle prend le nom de courbure de développement . Enfin, pour des raisons qui apparaîtront plus tard, on l'appelle
(') La courbure normale se trouve ainsi délinie en grandeur et en signer d'après la remarque faite au paragraphe 68.
