COS

sincp o

sin cp

~~ïï7

__ s,n9cos?.

On voit que la torsion géodésique s'annule lorsque le déplacement

MM' a lieu dans une direction principale et seulement dans ce cas.

Cette propriété caractéristique fournit une nouvelle définition

des directions principales. Remarquons aussi que —jf prend des valeurs égales et de signes contraires pour des déplacements rectangulaires o et — hPii d'où l'on conclut le théorème suivant (Bertrand, Calcul différentiel, p. 6-5) :

Considérons deux droites infiniment petites de même Ion-

gueur MM',, MM', perpendiculaires entre <-lles et situées dans

Fig. 89.

le plan tangent au point M; les normales à la surface aux extrémités M', M.^ sont également inclinées sur les deux faces du dièdre M M', M'„ et situées toutes deux à V intérieur ou toutes deux à V extérieur de cet angle dièdre.

Remarque. — Si l'on appelle — > ^7 les courbures normales relatives à deux déplacements rectangulaires, on a

1 cos2cî sm2cp 1 si 11 - -^ cnsJo

R„ "Ri R2 ' R'„ Ri R2 '

11 9 . , j ' 1 1 ^ eus1 g sin*cp

Or,

R* K;, -Cn!"V°m VUf ' YL\) ' R,R, ' R,RS

sin^Y -+- COSv«p =1 - •>. sin'-o ros'-'co;

donc

si II - ti Cns- ce

RiRs

S I II - Ci C ( 1 - - '

r7 rU

R, Ro

ou, en tenant compte du résultai précédent,

R,R, r„r;, T./r,/ d'où le théorème suivant :

Théorème. — Le produit des courbures normales de deux

lignes qui se coupent à angle droit sur la surface, en un

cil M'. XVI. — coi Mil IIKS NORMAL K ET GÉODÉSIQUE. TORSION GÉODÉSIQUE. 'i63

point M, augmenté du produit de leu rs torsions géodésiq ues, est constant et égal au produit 'I<'s courbures principales de la surface en ce point .

Il v ;i souvenl avantage à définir autrement la torsion géodésique ('): soient en effet K„, K', les centres de courbure normale en M el en M : Rrt, RJ, les rayons de courbure normale en ces deux points; calculons l'angle s sous lequel se coupent les deux sphères qui ont pour centres k„, K,',, pour rayons Pi„, R,', ; on a évidemment

K„ K'„ = R2 -+■ R'n — a R» R'h cosei

K„ K'„ = (R'„ - R„ )* ■+- 4 R« K si"2 - ; on en conclut, en ne conservant que les parties principales.

, K„K'n— dRf, RÂ

Or les coordonnées du point k„ se déduisent de celles du point M par les formules

ce -+- XRre, y -h [J.R,,. s -+- v R„ „■ on a donc

K„ K'n = ( dx -+- X (lRn -+- R„ c/X )-

-+- ( r/»- -+- fjt </R„ + R„ c?jjt)2 ■+■ (dz -+- y dR„ H- R„ dv )« = rf/2 + r/R2 h- R2 (dk* -4- ^;jl2 -h rfv2) -h i Rn(dx d\ -+- dy dp -+- dz c?v).

appliquons les formules de réduction (A) il vient

dl*

— — = cos-o sin-o al*

m fin

i cos2cp sin2cp 2 /cos2co

sm2 o

Rf, ' R? RI R* \ R.

cos2o «in2cç /cos2ç sin2cpy2

R? R? ' Ri R2 )

QS?(ïïf4-Rl-R1k) = (RT RT

) sin

^7= lïï7-Rjs,nt?C0^

(') Bulletin des Sciences mathématiques, juillet 1897, t. XXI, 2e série.

26 i TROISIÈME PARTIE. — COURBES TRACÉES SLR UNE SURFACE.

On en conclu! le théorème suivant :

I in m; i:\ii;. — L anale de torsion géodésique dy un arc infiniment petit MM' est équivalent à l'angle sous lequel se coupent les deux sphères a et t qui ont pour grands cercles les cercles oscillateurs des deux sections normales tangentes en M et en M'.

Pour compléter l'ensemble des formules qui sont d'un emploi constant dans l'étude des lignes tracées sur une surface, calculons encore la variation de l'angle H qui intervient dans la définition des cQurbures relatives et dans le théorème de Meusnier ; le cosinus de cet angle est donné par la formule

cosO = Xa'-+- [*P'-t- vy'; diflerentions

— sin 0 d% = a' dl -+- 3' d\± -+- y' rfv + ( A c?a'-+- ;jl d$' -h v rfy' )

— sin 0 <:/6 = a' c/>, -+- 3' d\x -+- y' dv — (Àa"-f- [Ji3"-f- vy") rfx.

Appliquons maintenant les formules de réduction (A) et divisons par sin6,

d<) = sin o cos œ ( — ) <-// -+- dx

(8) rffJ = (f:,^(/:.

relation très importante sur laquelle nous aurons à revenir (').

77. Résumé. — Les résultats obtenus dans ce Chapitre et dans le précédent suffisent pour les questions qu'on peut avoir à traiter dans une théorie élémentaire des lignes tracées sur une surlace donnée. Nous les rassemblerons dans le Tableau suivant :

i" Courbure normale. Courbure géodésique :

i cosO i sin') ( cos2o sin?ç>

(i) Pour que d^~dx, il faut et il suffit, d'après la formule (8). que le déplacement ait lieu suivant une direction principale. Cet important théorème est dû à Lancret.

CHAI'. XVI. — COURBURES NORMALE ET GÉODÉSIQUK. TORSION GÉODÉSIQUE. 9.65

2° Torsion géodésique :

TV==-rf=:(R;-Ri;s,n5?C0S?;

3° Vngle de deux normales infiniment voisines:

(nn')s

cos-p sm-<

dl*

4° Plus courte distance de deux normales infiniment voisines