SYSTÈMES CONJUGUÉS. - LIGNES ASYMPTOTIQUES. LIGNES DE COURBURE

Coordonnées curvilignes; systèmes conjugués. — Lignes asymptotiques; application aux surfaces de révolution,

aux surfaces réglées. llgne de courbure; théorème

de Joachimstahl; SURFACE A LIGNES DE COURBURES PLANES.

— Système triplement orthogonaux; théorème de Dupin.

— Calcul des courbures principales en coordonnées curvilignes.

78. Supposons les coordonnées d'un point mobile M exprimées, en fonction de deux variables indépendantes //, r. par trois équations de la forme

(i) a? = /(«, t>), y = <f(u, v), s = ty(u, v).

Si l'un au moins des trois déterminants fonctionnels

D(/. cpi D(ç>. •!») D(6./) D(u. v)' l>i ii. v )' Di u. r) '

le premier par exemple, n'est pas identiquement nul, les deux premières équations ( i ) définissent // et v comme fonctions implicites de x et dey et si l'on substituait ces fonctions à x et y dans la dernière, elle prendrait la forme ; = F(x,y). Le point AI décril donc une surface S de la nature la plus générale; à chaque système de valeurs de («, e) correspond un point de cette surface; inversement à tout système de valeurs de x et dey, c'est-à-dire à tout point AJ de la surface, correspondent des valeurs déterminées de u et de v} qui sont ce qu'on appelle les coordonnées curvilignes du point M.