CHAPITRE XVII. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUES

Si l'on se donne une relation constante entre les coordonnées //. e, les coordonnées #, y, z deviennent, d'après les équations (i), des (onctions d'un seul paramètre ; le point M décrit donc une courbe déterminée, située sur la surface S. Si en particulier on considère l'équation u = a elle définit la courbe

De même l'équation v — b définit la courbe

ces deux courbes se coupent sur la surface au point dont les coordonnées curvilignes sont u = a, v = b] si l'on donne aux constantes a, b toutes les valeurs possibles on obtient un double système

de courbes

u = const., v = const.,

qui forment sur la surface le réseau des lignes coordonnées. Soit par exemple la surface représentée par les équations

x=ucosç, ^ = «t sin t>, z = ty(u).

Les lignes a = a sont des cercles ayant pour équations cartésiennes

.r2-4- y'1 = a-, z = tyia),

ces cercles ont pour axe OZ; la surface est donc de révolution

autour de OZ ; les lignes v = b sont les intersections de la surface

par les plans

x sin b — y ces b = o,

qui passent par l'axe de ; ; ce sont les méridiens de la surface, les lignes u = const. sont les parallèles. On verrait de même que les équations

x — UCOSP, y=USiïlV, z — ty(v),

définissentle conoïde droit le plus général, ayant pour directrice OZ; les lignes v = const. sont les génératrices rectilignes parallèles au plan des x, y\ quant aux lignes u — const., chacune d'elles est le lieu des points de la surface qui demeurent à une distance donnée de l'axe OZ; ce sont les trajectoires orthogonales des génératrices rectilignes.

•268 TROISIÈME PAATIE. — COI Mîlis TRACÉES SUR UNE SURFACE.

Remarque, — Si au lieu des coordonnées cartésiennes on employait des coordonnées ponctuelles homogènes ou tétraédriques x, y, s, /, on aurait, au lieu des trois fonctions /", o, «L, quatre

fonctions

j'(u.v). <p(u,v), '\)(U.V). ts{u,v),

auxquelles ces coordonnées seraient assujetties à rester proportionnelles.

Coordonnées tan g entre lies. — Soit

AX^-BY+GZ + HT = o

l'équation générale des plans tangents à la surface donnée. Si Ton écrit qu'un point M(m, c) est situé dans ce plan, ou a

A/ -+- B <f '-+- C<î> ■+- ïïw = o.

Si l'on exprime que ce plan passe par le point infiniment voisin M' dont les coordonnées sont

, df df d® . ào

f-\--^-du-i — — dv. es -\ du h '- dv

ou dv ' ou ov

il vient, en tenant compte de la relation précédente,

A-L+B-^-h-C-^ + H — du 4-(A-r--t-B-rî--4-C-rî--+-H — )dv = o. du du ou du] \ ov ov ov dv J

Ces conditions seront satisfaites quelle (pie soit la direction du déplacement MM' si l'on prend pour A, l>, C, \\ les valeurs déterminées par les équations

/ A.r +Br +Cc +Ht =o,

\ v ax d °y rdz ii of

(2) < ou ou au ou

\ OV OV ov ov

Ces équations permettent de calculer A, B, C, H, c'est-à-dire les coordonnées homogènes du plan langent quand on connaît les coordonnées homogènes du point de contact. On peut obtenir de même trois équations permettant de calculer les coordonnées homogènes du point M quand on connaît les coordonnées tangentielles A, B, C, M. Dérivons en effet la première des identités (2)

,\ +yB -hzC -ht\i

,i\ oV> dC oli

Ou Ou Ou Ov

g>a on oc ou

àv * dv dv dv