TROISIEME PARTIE

lions

CoUHBKS TRACEES SUR UNE Sl'HFAŒ

ày

àG

ày

àt

dix

du dv

du <)v

du dv

qui expriment, l'une en coordonnées ponctuelles, l'autre en coordonnées tangentielles, la condition nécessaire et suffisante pour que les lignes u = const., v= const. forment sur la surface un système conjugué ( ' ).

79. Lignes asymptotiques. — On appelle ligne asymtotique une ligne qui est en chacun de ses points tangente à une asymptote de l'indicatrice. Nous avons vu qu'une direction asymptotique est caractérisée par ce fait que la section normale correspondante a un rayon de courbure infini; on peut donc définir une ligne asymptotique comme une ligne dont la courbure normale est nulle en chaque point; cette courbure normale étant d'ailleurs

égale, d'après le théorème de Meusnier, à

cos 6

il faut et il suffit.

pour qu'une ligne soit asymptotique, ou qu'elle se réduise à une droite (7- = o)> ou que le plan tangent à la surface lui soit oscula-

teur, condition qui d'ailleurs serait toujours remplie si — était constamment nulle. En définitive, on peut définir une ligne asymptotique par l'une des conditions suivantes :

Etre tangente en chacun de ses points à une asymptote de V indicatrice;

Avoir en chaque point une courbure normale égale à. o;

Avoir pour plan oscillateur en chaque point le plan tangent à la surface.

(') Pour les conséquences très intéressantes qu'on déduit des formules (8) et dont le développement nous entraînerait trop loin, nous renverrons aux Leçons de M. Darboux, Sur la théorie générale des surfaces, t. I, Livre II, Chap. I et II.