CHAPITRE XVII. — SVSTEMICS CONJUGUES. LIGNES ASYMPTOTIQUES. »;i

Remarquons que cette dernière définition est essentiellement projective ; si l'on soumet la surface aune transformation liomographique ou dualistique, les lignes asymptotiques se transforment dans les lignes asymptotiques de la surface transformée; celle remarque s'applique d'ailleurs à tous les systèmes de directions conjuguées.

Equation des lignes asymptotiques. — L'équation des lignes asymptotiques en coordonnées homogènes est évidemment (§ 71)

( 9 » d\ dx -+- dB dy -4- dQ dz -h dtt dt = o.

En éliminant ^ et dz entre cette équation, celle de la surface et celle qu'on déduit de cette dernière par la différentiation, on aurait une équation quadratique en dx, dy, dt qui serait l'équation diflérentielle des lignes asymptotiques projetées sur le plan des x, y\ en coordonnées cartésiennes cette équation serait de la

forme

M dx- -t- ■?. i\ dx dy -+- P dy'2 = o.

Elle se décompose en deux équations du premier ordre fournissant les deux systèmes de lignes asymptotiques de la surface. Si l'on considère par exemple l'hyperboloïde

on a dans ce cas particulier

et l'équation des lignes asymptotiques est alors dx2 dy2 dz2

ou, en éliminant c et dz,

dx dy\~ I dx2 dy'\ I x' y2

a2 J b'2 I \ a2 ' b2 J \a2 ' b2 Cette équation, qui peut se mettre sous la forme

( x dy — xy dx)2 = a2 dy2 -+- b2 dx2,

ï~2 TROISIEME PARTIE. — COURBES TRACEES SUR UNE SURFACE.

est une équation de Clairaut; en l'intégrant <m obtient un double système de droites dont l'enveloppe, qui correspond à la solution singulière, est l'ellipse de gorge.

Courbure d'une ligne asymptotique . — Lorsque l'équation de la surface est mise sous la forme z-=f(xy), l'équation des lignes asymptotiques est

/• dx- -+- 2 S dx dy -t- t dy- = o. Le théorème de Meusnier qui se traduit par la formule HcosO =ra,f.2iap l tp,i

est alors en défaut ; le second membre étant nul à. cause de l'équation précédente, le premier parce que 8 = - . On remarquera que

la courbure propre d'une ligne asymptotique est égale à sa courbure géodésique; or nous verrons plus tard comment on obtient la courbure géodésique d'une ligne q uelcoiique en coordonnées curvilignes, ce qui nous permettra de calculer — • On peut (Tailleurs y

parvenir en dérivant, par rapport à l'arc de la ligne asymptotique, l'équation

On a, en effet, ainsi

dt dl "'

d3z d3z 03z à3z ote3 Oxioy ' ox 0yz Oy3

Détermination des lignes asymptotiques. — Quand une

droite est tout entière sur la surface, elle est évidemment une ligne asymptotique; si la surface est réglée on en connaît par suite une famille de lignes asymptotiques qui est formée des génératrices rectilignes. Nous reviendrons plus loin sur la question des surfaces réglées ; remarquons seulement que dans le cas des surfaces développables les deux familles de lignes asymptotiques se confondent avec les génératrices.