CHAPITRE XVII. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQl ES
Cherchons, comme première application, les lignes asvmptotiques de la surface de révolution définie par les équations
x = ucosv, y = usinv, z = 'b(u).
Nous avons ici [équations (2)]
A cos v -+- B sin v -4- C <]/ < u ) = o. — A sint> -+- B cosp = o,
et nous pouvons prendre
A = cose. B = sin c. G = — —. == f( u ).
Nous avons alors, pour l'équation des lignes asympto tiques,
— s\nv(du C03i> — u sint> dv) dv.
-+- cosv( du sin v -+- u cost> dv ) dv -+- <b' ( u ')f'(u) du* = o,
ou, en ordonnant,
u dv* -+- ty'(u )f'( u ) du* = 0.
On a donc les équations finies des deux systèmes de lignes asymptotiques par une quadrature
dv = du y
u J ( u I Sur/aces réglées. — Soit encore le système d'équations
(il) x = au -+- h. y = bu -+- k, z = u,
qui définit la surface réglée générale lorsque a, 6, h,k sont des fonctions de v\ les génératrices reetilignes étant ici les courbes p = const., on a :
' dx = ( à u -+- A' ) a?p H- a </// . (12) dy = ( 6' u -+- /. ' ) tft> -h b du,
dz = </V<.
On peut toujours, d'après les équations (2), prendre A, B, C égaux ou proportionnels aux déterminants
Nous avons alors, en vertu dos équations ( 10) et (i i),
A = (>' h / '. B = — (a'u -4- h' ). G = (6a'— ab1 ) u -t- bh' — ak',
d\ = ( b" u -+- Â-") c/c -i- b' du.
dB = — ( «" « -j- A" ) <^ — a' rfu .
dC = [( 6a"— «6")» 4- bh" — ak" -r- b' h' — a' k' \ dv -+- (ba'— ab') du.
Si l'on forme la combinaison o?A ofa; -h rfBofy -h dCch on constate d'abord que le coefficient du terme en du'2 est nul; l'équation est donc divisible par dv et les génératrices rectilignes donnent le premier système de lignes asympto tiques, résultat évident a priori. En second lieu, le terme en dudv a pour coefficient
a(b"u -+■ k") — b{a" u -+- h" ) -4- (a'u -t- h')b'-t- u(a"b — b" a) — (b'u ■+■ k' ) a' ■+- bh"— ak" -f- b' h'— a' k'
el se réduit à une fonction de e, les termes en u se détruisant.
Enfin le coefficient dv- est évidemment un trinôme du second degré en u ayant pour coefficient des fonctions de r, et l'équation des lignes asymptotiques, débarrassée du facteur dv, est en définitive de la forme
-£ = Mtt2-+-2N« -+- P,
dv
M, N, P étant des fonctions de e. G est une équation de Riccali.
Le rapport anharmonique de quatre solutions particulières quelconques est constant ; or L'équation 3 = u montre que la différence de deux valeurs de u est la projection sur O3 du segment de génératrice rectiligne compris entre les deux lignes asymptotiques correspondantes; on est ainsi conduit au théorème suivant :
Théorème. — Quatre lignes asymptotiques fixes d? une surface réglée quelconque coupent chacune des génératrices en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.
En d'autres termes : les génératrices rectilignes sont divisées homo graphiquement par la seconde famine de lignes asymptotiques.
Un cas particulier intéressant est celui de la surface gauche engendrée par les normales principales d'une ligne à double courbure. Une pareille ligne (C) est évidemment une ligne asymptotique el fournit par conséquent une solution particulière de I équa-
