CHAPITRE XVII. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUE

lion de Èliccati ; celle-ci pourra donc, dans le cas actuel, être réduite à une équation linéaire et s'intégrer par deux quadratures. Rappelons à cette occasion la proposition suivante, déduite (première Partie. § 36) de ce fait, que les lignes asymptotiques d'une quadrique sont données par les deux systèmes de génératrices rectilignes :

Théorème. — Les normales principales d'une ligne à double courbure ne peinent jamais rencontrer trois droites fixes (Bertrand).

80. Lignes de courbure. — On appelle ligne de courbure dune surface une ligne qui est tangente en cliacun de ses points à l'une des tangentes principales, autrement dit à l'un des axes de l'indicatrice. Par chaque point M de la surface passent deux lignes île courbure, toujours réelles, se coupant à angle droit et conjuguées; en d'autres termes, il existe sur toute surface un système conjugué et un seul formé de deux familles de lignes orthogonales; c'est le système des lignes de courbure. Nous conviendrons d'appeler l'une quelconque de ces lignes ligne de première ou de seconde courbure , suivant qu'elle sera tangente à la section principale de courbure ,.-- ou à la section principale de courbure — •

1 >M ri 2

V toute propriété caractéristique des directions principales correspond une forme particulière qu'on peut donner à la définition des lignes de courbure; on peut les définir par exemple de la manière suivante :

Une ligne de courbure est une ligne dont la torsion géodésique est nulle en chaque point; ou encore :

Une ligne de courbure est une ligne telle que la sphère <j qui touche la surface en un quelconque de ses points et qui contient son cercle oscillateur, soit constamment tangente à la sphère rr' infiniment voisine.

Remarque. — Cette dernière définition, qui met en évidence le théorème suivant, nous fournit un exemple des avantages que présente notre définition de la torsion géodésique :

Théorème. — Les lignes de courbure se transforment en

lignes de courbure dans toute transformation par trayons vecteurs réciproques.

Nous avons vu aussi que la plus courte distance entre les normales à la surface en deux points infiniment voisins d'une section principale est infiniment petite du troisième ordre au moins; il en résulte que les normales menées à la surface en tous les points d'une ligne de courbure forment une surface développable; d'où cette nouvelle définition :

Une ligne de courbure est une ligne dont la normalie est développable. — Nous avons appelé normalie d'une ligne (C) située sur la surface le lieu des normales à la surface le long de cette courbe (C) (p. ia5).

Supposons par exemple que la surface soit développable ; le plan tangeni étant le même tout le long dune même génératrice, la normalie correspondante se réduit à un plan; les génératrices forment donc un premier système de lignes de courbure : le second système est formé par les trajectoires orthogonales de ces génératrices.

Considérons une surface de révolution, la normalie d'un méridien quelconque est encore un plan qui passe par l'axe de révolution; les méridiens forment donc un premier système de lignes de courbure ; les parallèles de la surface, étant les trajectoires orthogonales des méridiens, forment le second système; la normalie d'un parallèle est un cône de révolution ayant son sommet sur l'axe de la surface.

On peut enfin donner, des lignes de courbure, la définition suivante qui découle du théorème d'O. Rodrigues sur les directions principales :

Une ligne de courbure est une ligne telle que la projection d'un arc infiniment petit sur une direction fixe quelconque soit dans un rapport constant avec la variation du cosinus de l'angle que fait cette direction fixe avec la normale à la surface quand on passe du point M au point M'.

On sait d'ailleurs que ce rapport est égal, au signe près, au rayon de courbure normale de la ligne considérée.