CHAPITRE XVII. — SYSTEMES CONJUGUES. LIGNES ASYMPTOTIQUES

Représentation sphérique de Gauss. — Considérons un point m ayant pour coordonnées les cosinus directeurs X, [J., v de la normale au point M; ce point m, lorsque M décrit sur la surface une ligne quelconque (C), décrit sur la sphère de rayon i, ayant le point O pour centre, une courbe (c) qui fournit la représentation spliérique de (C). La surface et la sphère se correspondent ainsi, point par point, de telle sorte que les normales et, par suite, les plans tangents, en deux points correspondants, soient parallèles (Gauss, Disquisitiones, § 1).

Les plans tangents en deux points M, M' infiniment voisins étant respectivement parallèles aux plans tangents à la sphère en m et /??',

les caractéristiques des plans tangents en M et m sont parallèles, on en conclut que : tout déplacement sur la surface est représenté sur la sphère par un déplacement perpendiculaire à son conjugué.

On en déduit que les deux familles de lignes de courbure forment sur la surface un système conjugué représenté sphériquement par deux familles de courbes orthogonales et réciproquement.

Supposons en particulier que le déplacement MM' ait lieu suivant une ligne de courbure, nous pouvons, d'après l'une des définitions que nous avons données d'une telle ligne, considérer les normales en M et M' comme se coupant au centre de courbure C ; en d'autres termes, nous pouvons remplacer la normale en M' par la droite CM' {Jig. 90). Le triangle CMM' doit alors être considéré comme isoscèle, ses côtés CM, CM' ayant des valeurs finies infiniment voisines du rayon de courbure normale R, par exemple. Les deux triangles O/nm', CMM' sont donc semblables