COURUES TRACÉES

el 1

'on

arc MM'

arc mm'

= Om

Mais ces deux arcs sont proportionnels à leur projection sur une droite fixe quelconque et l'égalité précédente met en évidence le tliéorème d'Olinde Rodrigues.

Théorème de Joachimsthal. — Nous avons démontré, pour une ligne quelconque tracée sur la surface S, l'égalité

</e =rfî + chg.

Supposons que cette ligne soit l'intersection de S avec une autre

surface S, ; sa normale principale fait, avec la normale à S,, un

angle 9, ; son angle de torsion géodésiquea, relativement à S,, une

valeur chig et l'on a

rfet= rfx+ dxig\

d'où, en retranchant membre à membre,

rf(8t— 0) = dxXg— dx^

L'angle 9, — 9 est celui sous lequel les deux surfaces se coupent au point M; d'après cette égalité, si deux des quantités d(^K — 9), chg, dx\g sont nulles, la troisième l'est nécessairement ; on en conclut les théorèmes suivants :

Théorème. — Lorsque la ligne d intersection de deux surfaces est une ligne de courbure de l'une et de Vautre, ces deux surfaces se coupent tout le long de cette ligne sous un angle constant.

Théorème. — Lorsque deux surfaces se coupent sous un cingle constant, si la ligne commune est une ligne de courbure de l'Une, elle est aussi une ligne de courbure de Vautre.

D'où, en remarquant que toute ligne tracée sur un plan ou sur une sphère est une ligne de courbure de ce plan <>u <l<- cette sphère :

Théorème. — Lorsqu une ligne de courbure d' une surface est plane (ou sphérique), le plan (ou la sphère) coupe la sur-

CHAPITHR XVII. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUES. '7<l

face sous un angle constant et, réciproquement, si un plan [on une sphère) coupe une surface sous un angle constant, la section est une ligne de courbure de la surface.

Supposons que cette ligne de courbure soit plane, la normale à la surface fera un angle constant avec la perpendiculaire au plan de cette ligne. Elle sera donc représentée sphériquement par un point ni situé à une dislance constante d'un certain point de la sphère; en d'autres termes, toute ligne de courbure plane a pour représentation sphérique un cercle.

Si toutes les lignes de courbure d'une surface sont planes, elles sont représentées sphériquement par deux systèmes de cercles orthogonaux. On sait (') que si deux familles de cercles orthogonaux situés sur une sphère forment un système orthogonal, les plans des cercles de chacune d'elles passent par une même droite et que les deux droites ainsi définies sont conjuguées par par rapport à la sphère ; on peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Lorsque toutes les lignes de courbure d'une surface sont des courbes planes :

i" Les plans des lignes de première courbure sont parallèles à une même droite D, ;

a" Les plans des lignes de seconde courbure sont parallèles à une même droite D2, perpendiculaire à D,.

Surfaces moulures. — Considérons par exemple les surfaces moulures de Monge. On nomme ainsi une surface dont les lignes de première courbure sont planes et situées dans des plans parallèles. Si l'on suppose ces plans parallèles au plan des x, y, l'équation aux dérivées partielles du premier ordre des surfaces moulures est évidemment, d'après le théorème de Joachimsthal,

p-+q2 = fi or).

Il est facile d'intégrer cette équation, mais la solution géométrique est évidente. Les lignes de première courbure qui sont en même temps les lignes de niveau de la surface sont représentées

(') Pour la démonstration de ce théorème, roi/- la note à la fin du Chapitre.

•l8o TROISIÈME PARTIE. — COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE.

sur la sphère par une famille de cercles parallèles ayant pour pôles deux points fixes P, P'; les méridiens correspondants ou les grands cercles passant par les pôles P el P' représenteront alors les lignes de seconde courbure ; celles-ci seront évidemment des lignes planes et situées dans des plans parallèles à la droite PP' ; on obtiendra donc la surface la plus générale répondant à la question en faisant rouler sans glissement un plan mobile sur un cylindre de forme quelconque; une courbe quelconque (C) du plan mobile engendrera une surface moulure; les positions successives de cette courbe (G) forment le second système de lignes de courbure, chaque ligne du premier système est la trajectoire d'un point de la courbe mobile.

81. Équation des lignes de courbure. — Nous avons donné (§71), pour déterminer les directions principales, les équations en coordonnées cartésiennes

dx dy dz A B G = o,

. dk dn de i

dp ( dy -+- q dz) — dq( dx -+- p dz ) = o

(i5) | pqr — ( i -t- p- > s | dx2

-4- [O -i- q"- )r — i i -^ p'1 \t | dx dy — [s( i h q*) — pqt] dy- — o.

Ces équations sont en même temps les équations dillérentielles des lignes de courbure ; si on veut les obtenir, par exemple en projection sur le plan des ./ , r. il suffira d'éliminer z et dz entre l'une des équations ( i3) ou ( 1 5), l'équation de la surface et l'équation dz =/>(/./ 4- qdy.

Considérons par exemple l'ellipsoïde

( )u peut prendre ici

rt-

11 = iv