CHAPITRE XVII. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASVMPTOTIQUES

ce qui donne, pour L'équation des lignes de courbure,

dx dy dz

Celte équation s'intègre sans difficulté; si l'on pose

elle peut évidemment s'écrire (en la multipliant par xyz)

a"- d\ b- drt r2 dZ

d\ dr^ dX,

ou, en développant et posant

62 C2=a, c2— as=B, a3-r-62=G,

A 3 rfr, rfÇ -+- B ï] rfÇ rfÇ -+■ G Ç </; rfï) = o ;

l'équation de l'ellipsoïde devient alors

\ -+- rt H-'Ç = 1 ; d'où dÇ -+- t/; -+- e^ = o.

Si nous éliminons Ç et rf^ à laide de ces deux équations, celle des lignes de courbure projetées sur le plan des x,y prend la forme

\;P*- — < A. 7) -f- B£ — A — B)/> + Bt] = o.

/> désignant la dérivée -5 • On peut aussi l'écrire

i A/> — Bj ( r, — p\) =(A + B)/».

C'est une équation de Clairaul. L'intégrale générale est donc, en appelant X une constante arbitraire,

\ fi h B — -A-b)Ub4 = o.

C'est lin système de coniques dont les axes sont dirigés suivant ceux de l'ellipsoïde.

La solution singulière est donnée par l'enveloppe de ces

coniques; son équation est

A T7 + BK - A - 15)" = 4 AB ^v i o2 a- I a- b-

c esl un système de quatre droites; or cette équation peut s'écrire, en remplaçant A -+- B par — G,

v/Iy ± /B- ± J=C = o.

Nous reviendrons plus tard (Chap. XV, IV > sur la lliéorie des lignes de courbure des surfaces du deuxième ordre.

82. Systèmes triplement orthogonaux. — Considérons trois équations de la forme

(18) f(x.y,z) = u, <o(x. y. z) = v. <l( x. y. z ) = ir.

telles que le déterminant fonctionnel r • ' ' ^ soit différent de o.

Si l'on donne à u , c, w des valeurs constantes, on a trois surfaces déterminées ; si l'on attribue à ces constantes des valeurs arbitraires variant d'une manière continue, on obtient trois familles de surfaces ; en un point M quelconque passe, évidemment, une surface de chaque famille; en d'autres termes, à un système de valeurs de a?, y, s correspond un système de valeurs de «, c. w\ réciproque-

ment, le déterminant =r— — ! — jetant dînèrent de o, les équations

(18) sont résolubles par rapporta J'.y, ;. et à un système de valeurs de it. r. <r correspond un point M ('); pour cette raison u. e. o s'appellent les coordonnées curvilignes du point M. Les surfaces définies par les équations (18) prennent le nom de surfaces coordonnées. Si Ion prend x = n< y = e. c = ce, les surfaces coordonnées sont les trois familles de plans respectivement parallèles aux plans des r;, zx et xy. De même les équations

x = u sinecostc , y = u sin v sin w, s = itcosv définissent un système de coordonnées curvilignes (coordonnées

(') Les équations /— u, ip = v, <^ = tv peuvent être vérifiées par plusieurs systèmes de valeurs de x. y, z, fonctions continues de //. v, w; à chacune de ces solutions correspond un point M.