CHAPITRE XVII. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUES

polaires). Kilos sont résolubles par rapport à //. i>, w

V r2 ~+~ y~ "^ a ' ■ »v=arctang— » v = arc cos

Les trois familles de surfaces coordonnées sont donc :

u = const. des sphères concentriques à l'origine;

ir = const. des plans passant par l'axe O: :

v = const. des cônes de révolution de sommet O el d'axe Oz.

Lorsque les normales aux trois surfaces qui passent en un point M forment un trièdre trirectangle, quel que soit ce point M, on dit que les surfaces coordonnées forment un système triplement orthogonal ; il en est ainsi par exemple du système de coordonnées polaires que nous venons de définir.

Les conditions d'orthogonalité sont, dans le cas le plus général, exprimées par les trois équations

Une surface isolée S peut toujours être engagée dans un système triplement orthogonal; portons en effet, sur chacune des normales à cette surface, un segment de longueur constante u, l'extrémité de ce segment décrira une surface qui aura les mêmes normales que la première; en faisant varier cette longueur u nous aurons une famille de surfaces parallèles à S. Si l'on associe à cette famille les deux familles de normalies développables qui leur sont évidemment communes on aura un système triplement orthogonal comprenant la surface donnée. Si, au lieu d'une surface isolée S, on se donne une famille de surfaces dépendant d'un paramètre el représentée par l'équation f(x, y, s) = m, cette famille ne fait pas en général partie d'un système triplement orthogonal: il faut pour qu'il en soit ainsi que la fonction f(x,y< z) satisfasse à une certaine équation aux dérivées partielles du troisième ordre (O. BonncU. I ne famille de surfaces satisfaisant à ces conditions constitue ce qu'on appelle une famille de Lamé.

àx

à<\> àx

ào dty à y ày

àf

àz

dz ~

à<\> àf dx àx

à<\> àf

ày ày

àz

e>cp àx

àf dep

dy dy

àz

Théorème i>k Dupin. — Prenons pour origine un point M quelconque el pour axes des r, des y et des z, les normales aux trois surfaces /= //, a = v, & = w. Nous aurons, en ce point M,

àf

ày

dy cto

•ri Ô'I dj dx

à<l dz

Ceci posé, dérivons par rapport à .r, r, z respectivement les équations (19); en tenant compte de ces conditions nous obtenons

ainsi

dco <J- 'l à<\> à-o

ày dx ây dz dx dz

dty à\f àf d»&

dz dy dz dx dx dy

df à^ + ^ à*f =Q

dx dx dz dy dy dx

ou plus simplement

à*f &ta d2«L

dy dz ox dz àxdy

Or on a, en employant les notations ordinaires, pour la surface 'l = u\ sur laquelle ; serait considéré comme fonction de x, r.

ày

*Tz

-pq

dz* ~

dx dz

Par

cette identité se réduit, à l'origine, en vertu des relations

= U, cl

P = '7 = dlFàJ = 0<il

qui expriment que les axes Ox, Or sont les tangentes principales, au point I ) de la surface il = w. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème de Dupim. — Lorsque trois familles de surfines