CHAPITRE XVII. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASVMPTOTIQUES

forme ut un système triplement orthogonal^ chaque surface appartenant à l'une (/'elles est coupée suivant ses lignes de

courbure par toutes les surfaces des deux autres familles.

Parmi les systèmes triplement orthogonaux, l'un des plus importants et des plus remarquables est celui qui est formé de trois familles de quadriques liomofocales. Considérons l'équation suivante où ce, y, z sont trois constantes, p l'inconnue,

(ai) /( p) = -5 h -H 1 1 = 0 u'2 > //-' ; <■- i.

pour chaque système des \aleurs de ce, y, z elle admet trois racines réelles comprises dans chacun des intervalles

On s'en assure aisément en examinant les signes de/(p) poulies valeurs

p — oc c'2 — z. c- -f- £ b'2 — t. b2 -+- z a"- — s. a- -\- z -H oc.

L'équation (21) représente, quel que soit p, une quadrique homofocale à l'ellipsoïde

Par un point M(xj-z) passent trois quadriques liomofocales dont

'une est, comme on le voit aisément, un ellipsoïde, une autre un

hyperboloïde à une nappe, la troisième un hyperboloïde à deux

nappes; les trois racines correspondantes u, e, ir de l'équation (21)

sont les coordonnées elliptiques du point M.

On a ainsi trois familles de quadriques et il est facile de voir quelles forment un système triplement orthogonal. Considérons par exemple les deux surfaces u = const., v = const. qui passent au point M(ccyz'), elles ont pour équations

—, — ■ — •- tt ' ; 1 = 0. — - 1- -j-f 1 1 = 0,

d'où, en retranchant membre à membre et supprimant le facteur

a86 , TROISIÈME PARTIE. — COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE.

(p — u) (|iii est différent de zéro,

(a2 — a) (a2 — v) (62— a)(62 — v) (c2 — u)(ci — v)

Or, les cosinus directeurs de la normale au point x, y, z- sont proportionnels, pour la première surface, à

et, pour la seconde, à

L'équation précédente exprime donc l'orthogonalité des deux surfaces (w, c). On verrait de même que les surfaces r, w se coupent à angle droit.

Nous reviendrons plus tard sur les propriétés très remarquables du système orthogonal formé par trois familles de quadriques homofocales; pour le moment, nous nous contenterons d'en faire l'application à la détermination des lignes de courbures de l'une quelconque des quadriques qui font partie de ce système. Considérons, par exemple, la surface (E) qui a pour équation

Si nous retranchons cette équation de L'équation (21) et que nous supprimions le facteur p — a, les deux paramètres f, o\ correspondant aux deux familles de surfaces qui ne comprennent pas E, sont les racines de l'équation en p :

(aa)

11 suffit donc, pour avoir les ligues de courbure de la surface (E), d'égaler à des constantes arbitraires les deux racines de l'équation (22). Par exemple pour l'ellipsoïde