CHAPITRE X.VII. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES A.SYMPTOTIQUES
on doit faire // — o; L'équation ( 22) devient alors
a?s va s«
aï ( a'1 — p ) h- ( h- p ) r- 1 c2 — p )
Si l'on veut avoir les Lignes de courbure en projection sur le plan des x. y, il suffit d'éliminer —, ce qui donne
(a2 — cs ) 1 p — 62 ) -4- ^L- (6*— c! ; 1 0 — a2 ) -+- ( p — a2 ) ( p — b2 ) = o.
On a donc, en appelant C une constante arbitraire, pour l'équation des Lignes de courbure de l'ellipsoïde en projection sur le plan
des (x,y),
elle ne diffère pas de celle que nous avons obtenue plus liant; la solution singulière s'obtient en écrivant que cette équation du second degré en (G) a une racine double; on retrouve ainsi le système de quatre droites imaginaires obtenues précédemment.
83. Courbures principales. — Une surface sera, le plus souvent, définie soit par une propriété commune à chacun de ses points ou à chacun de ses plans tangents, soit par une génératrice variant suivant une loi donnée, de forme et de position. Pour étudier cette surface on choisira le système de coordonnées curvilignes û, p, le mieux approprié à sa définition; on exprimera ensuite, à l'aide de deux variables u, v, les coordonnées ponctuelles x,y, z, t et les coordonnées tangentielles A, B, G, H. On aura alors (§79) les équations différentielles des systèmes conjugués, des lignes asymptotiques et des lignes de courbure. Une dernière question à résoudre sera la détermination des courbures principales.
Si nous supposons que les calculs antérieurs aient fait connaître les cosinus directeurs de la normale et l'équation finie des lignes de courbure, on n'aura plus qu'à appliquer l'une des relations qui traduisent le théorème d'O. Rodrigues
d\ d\x dv 1
dx dy dz R,j
On peut d'ailleurs former aisément l'équation du second degré
qui donne a priori l'expression des courbures principales en coordonnées curvilignes.
Les coordonnées du centre de courbure normale K sont en effet, pour une courbe quelconque,
Quand on passe du point M au point infiniment voisin, les accroissements des coordonnées sont
dx -+- jj dk -+- A d 7j 5 dy -T- — dM -+- B d — , dz -+- — dC ■+- Cdjr' H H ri H H H
Si la courbe est une ligne de courbure, la normale reste tangente à la courbe décrite par le point K, les variations ci-dessus
sont donc proportionnelles à A, B, C, et l'on a
dx -+- — dk — A d — H H
dy -+- — dB -+- B d -= J H H
dz -h^dC + Cd1^ H H
On aura donc pour déterminer les courbures principales, en appelant h la valeur commune de ces trois rapports,
dx , dx , R (dk . dk
— du ■+■ — dv H- -rj — du -+- — ou dv H \ du dv
dv
)+(4-*)Asa°'
et deux équations analogues; éliminant du, dv et c/yj
l'équation cherchée
ABC R dk dx R OK dy R dC dz
h. il vient
H du du H Ou ou 11 Ou du K dk ' dx R tfB dy R. dC dz
H~dv + dv H dv ~ ~ôv~ H àv ~*~ dv
Comme vérification, si l'on fait dans cette équation a? = u. y= c, Y = », B = q, C = — î , on retrouve l'équation obtenue au paragraphe 71 [formule (28)]
— — |( . -t- p*)t -+■ (1 -h a*- )r—JPcjs] - -+- /■/
Si l'on écrit que l'équation (a3) a une racine infinie, on obtient
