CHAPITRE XVII. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUES
immédiatement pour l'équation des surfaces développables en coordonnées curvilignes tangentielles
À II C d\ àti dO
On Ou On
ox on oc
Ov dv Ov
On aurait de même sans difficulté l'équation des surfaces à courbure moyenne ou à courbure totale constante, en coordonnées curvilignes.
Considérons, comme application, Y hélicoïde gauche lieu des normales principales d'une hélice circulaire. Les équations de ce conoïde particulier peuvent être mises sous la forme (§ 76,
x = u cost>, y = u sine, A = sine, B= — cost\
l'équation (a3) devient ici
kv.
■== COSP
— cose
U COSP
ku
ou en réduisant
sine
A" + T ~ ÏP 7^
On voit que les deux rayons de courbure principaux de l'hélicoïde réglé sont égaux et de signes contraires en chaque point; en d'autres termes, l'hélicoïde gauche est une surface minima. Il est aisé de voir que, réciproquement, L'hélicoïde gauche est la seule surface réglée minima, c'est-à-dire dont les rayons de cour- D.
bure principaux soient en chaque point égaux et de signes contraires.
Eu effet, sur une telle surface, l'indicatrice en chaque point est une hyperbole équilatère; les lignes asymptotiques se coupent donc à angle droit; or, les génératrices rectilignes forment un premier système de lignes asymptotiques; le second système est donc formé par les trajectoires orthogonales de ces génératrices. Soit alors M un point quelconque de la génératrice G; la seconde ligne asymplotique Y a pour plan oscillateur le plan tangent en M à la surface; Gelant située dans ce plan tangent et normale à la ligne T est sa normale principale; donc chaque génératrice rectiligne est normale principale d'une infinité de lignes I\ et toutes ces courbes T sont, d'après ce que nous avons vu relativement aux courbes de Bertrand, des hélices tracées sur des cylindres de révolution de même axe; la surface est donc bien un hélicoïde gauche.
8i. Développée d'une surface. — Soient C,, C2 les centres de courbure principaux relatifs à un point M de la surface S; les coordonnées de l'un et de l'autre sont des fonctions de u et de v \ ces deux points décrivent donc, lorsque M décrit la surface, deux lieux géométriques dont l'ensemble forme ce qu'on appelle la développée de la surface S.
Si le point M décrit une ligne de première courbure T,, la normale est constamment tangente à une courbe (y,) qui est Tarèle
Fig. ai.
de rebroussement de la normalie correspondante; lorsque Y, varie, cette arête de rebroussement engendre la première nappe de la développée. De même, la seconde nappe est le lieu des arêtes
