CHAPITRE XVII. — SYSTÈMES CONJUGUÉS. LIGNES ASYMPTOTIQUES. 29I

de rebroussemenl des aormalies relatives aux lignes de seconde courbure.

La normale MC,Co touche donc la développée aux points C, et C2 et coïncide avec l'intersection des deux plans tangents à la développée en ces deux points Ci et Cu.

Considérons le plan principal T, MP ; il est oscillateur en G, à la courbe y, ; cela résulte de [la formule (19) (p. 245) relative au point central de la normale ; il touche la première normalie au point M, et par suite au point C-> qui est situé sur la même génératrice; or cette normalie est circonscrite à la seconde nappe de la développée suivant une courbe nécessairement distincte de(y2); le plan T, MP touche, par conséquent, la développée au point G2.

On verrait de même que le plan tangent en C, à la développée coïncide avec le plan de la section principale tangente à la seconde ligne de courbure au point M. Les plans tangents en G( et C2 à la développée sont donc rectangulaires ('). On peut exprimer autrement cette propriété : si l'on mène d'un point P une normale PM à la surface, les plans tangents aux points C| et C2 correspondants étant rectangulaires, les contours apparents des deux nappes de la développée, vues du point P, se coupent à angle droit; en d'autres termes, les deux nappes de la développée, vues d'un même point de l'espace, paraissent toujours se couper à angle droit.

Cette propriété caractérise, ainsi que nous allons le voir, parmi tous les systèmes de droites qui dépendent de deux paramètres, celui que forme l'ensemble des normales à une surface.

Congruences de droites- — Les équations

(24) (D) x = az-hii. y = bz-+-v.

où a et b sont fonctions de deux variables «, c, définissent un ensemble doublement infini de droites auquel on a donné le nom de congruence. Toute relation finie de la forme v=f(u) détermine une surface réglée formée de droites de la congruence. Une équation différentielle du premier ordre entre u et v admet, comme

(') Ces deux plans sont d'ailleurs osculateurs, le premier à la courbe (y,), le second à la courbe ( yl ) ; ces deux, courbes sont donc des lignes géodésiques de la développée.

292 TROISIEiME PARTIE. — COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE.

od sait, une intégrale se réduisant à v0 pour u = u0; elle définit donc une famille de surfaces réglées, formée de droites de la con- •gruence, et dont l'une contient la droite particulière D0(//0, r„). En particulier l'équation

da dv — db du = o.

qui peut s'écrire

da/dvy Ida db\dv db dv \du / \ du ov ) du du

et qui exprime (§62) que (D) reste tangente à une courbe, définit deux familles de surfaces développables ; par toute droite de la congruence passe une développable de chacune de ces deux familles.

Foyers, focale, plans focaux. — Cherchons s'il existe, sur la droite (D), un point admettant un déplacement dirigé suivant cette droite elle-même; on doit avoir pour un tel point

dx dy

dz

d'où l'on déduit

z da -+- du = 0,

z db -+- dv

ou, en développant,

1 da \ . da

z h I du -h z — dv = O,

\ du / dv

db ,

3 — du -+du

dv = O.

Ces équations devant être vérifiées pour une même valeur de -3-1 on doit éliminer ce rapport et l'on trouve ainsi

„(da db db da\ I db da {')h) Z\du~ ~dv~ ~ dît '• dv~ ') "^ " '\d~v~ ~*~ "bll

Il existe donc sur chaque droite (D) deux points F,, F2, appelés foyers et qui répondent à la question; les équations (24) et (26 I donnent les coordonnées de chacun d'eux exprimées en fonction de u et de v. Lorsque (D) se déplace, le lieu de ces foyers est une surface à deux nappes qu'on appelle la surface focale. On appelle enfin plans focaux les deux plans tangents aux deux surfaces développables qui passent par (D) et qui sont définies par l'équation (20). On remarquera que u, c étant les coordonnées du point