CHAPITRE xvu. — SYSTÈMES CONJUGUÉS! LIGNES ASYMPTOTIQUES. 2g

où (D) rencontre le plan xOy, l'équation (25) donne les coefficients angulaires des traces de deux plans focaux sur ce même plan des .r, y.

Les normales à une surface (S) formenl un ensemble doublement infini, c'est-à-dire une congruence de droites. Dans ce cas particulier les deux développables passant par (D) sont les 'deux normal i es qui se croisent sur (S) au pied de cette normale; les fovers sont les centres de courbure principaux et la focale n'est autre chose que la développée de (S); enfin les deux plans focaux sont ceux des deux sections principales correspondantes. Ils sont donc rectangulaires et nous allons démontrer que cette propriété des plans focaux caractérise, parmi toutes les congruences de droites, celles qui sont composées des normales à une surface.

Congruence de normales. — Cherchons, en effet, à quelle condition les droites d'une congruence seront normales à une même surface (S); sur cette surface, chaque point peut être considéré comme déterminé en fonction de u et de r par les trois équations

x = atf(u, v) -+- u, y = b •»■(«, v) -+- v, « = <p(«, v%

la fonction ce étant telle que les coefficients directeurs de la normale soient égaux à «, ù, i; en d'autres termes, les tangentes aux deux courbes a = const., e = const. doivent être, l'une et l'autre, perpendiculaires à ( D). Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les deux équations

au du

à(a'± ) . f ô(b<p ) 1 àv

àv dv àv

soient vérifiées par une même fonction cp. Or ces deux équations peuvent s'écrire

la condition cherchée est donc

Cette condition est facile à interpréter géométriquement; rien n'empêche, en effet, de supposer que Taxe Oz soit parallèle à la direction actuelle de la droite (D), c'est-à-dire que les valeurs correspondantes de u et v annulent a et b. Si nous introduisons cette hypothèse, après avoir effectué les dérivations, la condition (27) se réduit à — = — -• Or, les deux plans focaux couDent x * ' dv du ' »

le plan des xy suivant deux droites dont les coefficients angulaires sont les racines de l'équation (25). La condition trouvée exprime que ces deux coefficients angulaires ont un procédé égal à — 1 ; et l'on est conduit au théorème suivant :

Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour que les droites d'une congruence soient normales à une sur/ace est que, pour chacune d'elles, les deux plans focaux soient rectangulaires.

Considérons, comme application, une famille de courbes (C) situées sur une surface S; les tangentes à ces courbes forment une congruence dont S est la surface focale. Soit D une de ces tangentes, M le point où elle touche la courbe (C) correspondante; M est l'un des points focaux de D et le plan tangent en M à S est le plan focal correspondant; quant au second plan focal il touche, suivant D, la développable dont l'arête de rebroussement est (C); il coïncide donc avec le plan oscillateur de cette courbe au point M. Si les courbes (C) sont des lignes géodésiques de S, ces deux plans focaux sont constamment rectangulaires, d'où le théorème suivant :

Théorème. — Les tangentes à une famille de lignes géodesiques d' une même surface forment une congruence de normales.

NOTE SUR LES SYSTEMES DE CERCLES ORTHOGONAUX DANS LE PLAN ET SUR LA SPHÈRE.

Pour que, dans un plan, les deux cercles

ï2 + /2+ icix -\--?.by -4-ie =0,

se coupent à angle droit au point (x, y), il faut et il suffit qu'on ait

( x -4- a) {x 4- ai ) -+- {y -«- b) (y ■+■ bx ) = o,

(2) x*-hy2-+- (a -+- ax )x -t- ( b -+- bx)y ->e- aat -+- bbt = o