CHAPITRE XVII. — SYSTEMES CONJLliUÉS. LIGNKS ASYMPTOTIQl'ES

ou, en éliminant .r cl y,

(3) aat -+- bb{ = c -+- C\.

Supposons que a, />, c soient des fonctions d'un paramètre variable t; a,, bt, cK des fonctions d'un autre paramètre tK ; nous aurons alors deux familles de cercles orthogonaux si la condition (3) est identiquement vérifiée. Or, dérivons-la par rapport à tK puis par rapport à £, nous trouvons

/ 2.7' / Il IIL' a' l>\

aa. -+- bb, = c . a a. -+- b b. = o, -r- = -•

Les deux membres de cette dernière égalité étant des fonctions de deux variables différentes doivent se réduire à une même constante h\ on a donc

a' = b' h, b\= — ha\ ;

d'où, g, gi étant deux constantes,

a = b/t ■+- g, bi = — ha\ -+- gi ;

d'après cela, a ne peut être constant sans que b le soit également,

à moins que h ne soit nul et, dans ce cas, c'est b, qui resterait

constant. Laissons de côté ce cas particulier qui n'offre aucune

difficulté; nous pouvons prendre b comme paramètre variable

et poser b = t; de même posons a, = £,, l'équation (3) se réduit

alors à

gh-*- g\t = c + cj;

d'où l'on conclut, en appelant k une nouvelle constante, c = gte-+-k, ci = gti—k.

Si l'on porte ces valeurs dans les équations (i) et (2), on a pour les deux familles de cercles,

x% Sf-y* -+. 2( ht -+- g)x 4- ity -t- 1 (gi t ■+■ k) = o,

^2)j2 i 2tlas-h 2(gi— htî)y •+- i(gty — k) = o.

Chacune de ces équations étant linéaire par rapport au paramètre dont elle dépend, tous les cercles de la première série passent par deux points fixes situés sur la droite

hx -¥-y -+- gi = o ;

tous ceux de la seconde ont, de même, pour axe radical, la droite

Ces deux axes radicaux sont rectangulaires; tous les cercles d'une série passent par deux points fixes qui sont les cercles de ravon nul de l'autre série.

Considérons maintenant une sphère quelconque; faisons-en la projection stéréographique sur son équateur; deux familles de cercles orthogonaux se projetteront sur le plan suivant deux familles de cercles satisfaisant aux conditions précédentes; tous les plans des cercles de l'une ou de l'autre famille passeront donc par une même droite. Soient a, b les deux cercles de rayon nul appartenant à Tune des familles de cercles situés dans le plan de projection; ils correspondront à des cercles de rayon nul A, B situés sur la sphère; les plans de ces deux cercles seront les plans tangents en A et B et par suite se couperont suivant une droite D, conjuguée de AB par rapport à la sphère. Tous les plans des cercles de la première série passeront donc par la droite D, ; de même, tous ceux de la seconde passeront par les points A, B. Le théorème énoncé au paragraphe 78 est donc complètement démontré.