SURFACES ENVELOPPES
Définition de l'enveloppe dans le cas général; son équation. — Cas d'un paramètre unique; caractéristique; arête de
rebroussement. c-as de deux parametres. enveloppes
de courbes. enveloppes de spheres a un parametre.
Surface dont toutes les lignes de courbure sont circulaires (CYCLIDE DE DuPIn)-. SURFACES CANAUX. ENVE- LOPPES DE SPHÈRES A DEUX PARAMÈTRES; PROPRIÉTÉS DES SURFACES CERCLÉES.
8ii. Etant donne'' un ensemble de surfaces S, représentées pat" une équation entre les coordonnées X, Y, Z et certains paramètres A, B, C,»..., une surface S est dite l'enveloppe des surfaces S lorsqu'elle est touchée, en chacun de ses points, par l'une au moins de ces surfaces S. Supposons qu'il existe une telle enveloppe et soient
l'équation qui représente l'ensemble des surfaces S; .x, y, z les coordonnées d'un point quelconque.de S; a, A, c, ..., les valeurs des paramétres qui conviennent à celle des surfaces S qui touche S au point M.
Ces quantités .r, t, s, «, />, c, . . . varient simultanément quand ou passe, sur la surface S, d'un point M à un autre point M' infiniment voisin, et l'on aura entre toutes ces variables les identités
àf , àf , df ,
l-±) -^-dx -t — dy -h ■£■ dz = o.
ox dy oz
La première exprime simplement que S passe au point M, la seconde que tout déplacement infiniment petit MM' effectué sur S est situé dans le plan tangent à S au point M.
Si nous différentions totalement l'identité (i) en tenant compte
de (2), il vient
df -, df „ df ,
— da^r -rr db -t- -7- de -+-...= o.
da db de
On aura donc, si a, b, c, ... sont indépendants,
df df df
Si donc l'enveloppe existe, son équation s'obtiendra en éliminant a, b, c, ... entre les équations (3).
Réciproquement, supposons que cette élimination puisse se taire et soit <p(x,y, s) = 0 l'équation résultante; il est facile de voir que la surface S représentée par cette équation satisfait aux conditions par lesquelles nous avons défini toute enveloppe des surfaces S. En effet cette surface S peut être représentée par la première des équations (3) pourvu qu'on y considère a, b, c, ... comme des fonctions de x, y, a, définies par les autres équations (3), les coefficients directeurs du plan tangent au point (#,.r, z) sont alors, pour cette enveloppe,
df df da df db
df df da
df df da
dx da dx db àx
dy da dy
dz da dz
, , • , . • x àf df df
et se réduisent, en vertu de ces mêmes équations, a — -, — - » ■— 1
1 7 dx dy dz
c'est-à-dire aux coefficients de directions du plan tangent à la surface S au même point M.(x,y, s).
Remarque. — Les surfaces S s'appellent les enveloppées; soient a, è, c, ... les valeurs des paramètres qui définissent l'une de ces surfaces S; donnons à ces paramètres des accroissements Aa, A6, Ac, ... infiniment petits ayant entre eux des relations quelconques; il est évident que le point M de l'enveloppe, dont les coordonnées satisfont aux équations (3), est la limite d'un point commun à S et à toutes les surfaces S, correspondant aux valeurs a -f- Art, b -\- AA, . . . des paramètres; c'est en se plaçant à ce point
