CHAPITRE XVIII. — SURFACES ENVELOPPES. 2Q

de vue qu'on peul définir l'enveloppe comme étant le lieu des intersections successives des enveloppées.

On voit aussi qu'il ne peut y avoir d'enveloppé si le nombre des paramètres indépendants est supérieur à deux, car l'élimination de x,y, z entre les équations (3) conduirait alors à n — i équations que ces paramètres devraient vérifier identiquement.

Surfaces à un paramètre. — Considérons d'abord le cas d'un paramètre unique t\ les équations (3) se réduiront alors à deux,

(4) f(x,y, z, t) = o, ft(x,y,z,t)=o,

fK désignant la dérivée partielle ■—■; ces équations (4) définissent une courbe qui est la limite de l'intersection de la surface S avec la surface infiniment voisine; on appelle cette courbe la caractéristique de la surface S; l'enveloppe est le lieu de cette courbe variable et touche chacune des enveloppées tout le long de la caractéristique correspondante. Cherchons les points d'intersection de la caractéristique de S avec la surlace S,, (t -\- h) infiniment voisine; ces points sont déterminés par les équations (4) et par la suivante

f(x,y, z, t-hh) = f(x,y, z, t)

/*2 -+-hfi(x,y, z, t)-+- —fz(x,y, z, t-hbh) = o,

f-i désignant la dérivée partielle — j; or, si l'on simplifie cette équation à l'aide des équations (4) et qu'on fasse tendre h vers o après avoir divisé par — > on a, pour déterminer les points limites cherchés,

(5) f(x, y, z, t) = o, /j(a?, y, z, t), fi(x, y, z, t) = o.

Chacun des points ainsi déterminés est un point de rebroussenxent de la caractéristique. Lorsque t varie, ce point de rebrousse ment décrit une courbe à laquelle on a donné le nom barète de rebroussement.

Théorème. — Toutes les caractéristiques sont tangentes à l'arête de rebroussement.

L'arête de rebroussement peut être, en effet, représentée par les

deux premières des équations (5), à la condition d'y regarder /, non connue paramètre indépendant, mais comme une fonction de x, y, s, définie par la troisième /2= o. On aura alors, par un déplacement effectué suivant l'arête de rebroussement,

dx Ot

^ ),/,+ ( il

Ox / \ dy

dx Ot

OxJ \0y

àf Ot \ / Of df dt

dt dy j J \ oz <)t dz

ut dy ) J

\ Oz Ot dz)

qui se réduisent, en vertu des équations de l'arête, à

àf df Of Of . oi\ dfx .

— dx ■+- ~-dy -4- -^- dz — o, 4r- dx -+- — dy -t- ■— dx = o.

Ox dy J dz dx Oy ' dz

Le déplacement en question est donc parallèle au plan tangent de chacune des deux surfaces /'= o, /', — o; il est donc dirigé suivant la tangente à la courbe d'intersection de ces deux surfaces, c'est-à-dire à la caractéristique.

Surfaces à deux paramètres. — Passons au cas de deux paramètres (//, p); l'enveloppe est alors représentée par les trois équations

f( x, y, s, u, v) = o, fiitr, y, z, u, p > = o, fi{-r- }% ~> », »') — °i

y,, /o désignant ici les dérivées partielles du premier ordre •é~*4~\ ces équations, si l'enveloppe existe effectivement, peuvent être résolues par rapport à .r. k, z\ les coordonnées de chaque point de l'enveloppe peuvent donc s'exprimer en fonction de ces deux paramètres qui constituent alors un système de coordonnées curvilignes sur la surface. L'enveloppe est, dans ce cas, tangente à chacune des enveloppées, non plus le long d'une courbe, mais en un point ou en plusieurs points isolés les uns des autres. Les trois équations précédentes donnent les coordonnées du point de contact, en fonction des deux variables //, v.

Enveloppes de courbes, — Lorsque les équations d'une courbe variable (<?) dépendent d'un paramètre unique t, cette courbe engendre une surface et n'admet pas, en général, de courbe enveloppe. Supposons en effet qu'il existe sur (c) un point M dont le déplacement, quand t varie, s'effectue tangentiellemenl