CHAPITRE XVIII. — SURFACES ENVELOPPES* 3oi

à (c) et par suile à chacune des deux surfaces ./'= o, 0 = 0; les coordonnées x, y, - de ce point M seraient alors des fonctions de t qui devraient vérifier identiquement les équations

àf . >)f , df , dm , «te , dm ,

(te cj/ Js rAr c*^ <>s

ou, ce qui revient au même,

or ces quatre équations sont, en général, incompatibles. Il n'y a donc d'enveloppe que dans de certains cas particuliers, lorsque, par exemple, la courbe (c) est la caractéristique d'une surface dont l'équation dépend du paramètre t.

Cas de deux paramètres. — Si les équations f = o, o = o, de la courbe variable, contiennent deux paramètres indépendants u, v, le même raisonnement montre que, s'il y a une enveloppe, ./ , r, s, a, c, du, dv doivent vérifier les quatre équations

àf 1 àf dv dm ,

-£- du -h -f- dv = o, —*-du-+- — T- dv = o ;

da w dit dv

donc les courbes d'une famille à deux paramètres, ou congruence, sont toutes tangentes à une même surface, sur laquelle u, v fournissent un système de coordonnées curvilignes, et dont l'équation cartésienne s'obtiendrait par l'élimination de u et de v entre les trois équations

.*<*, / df dv dv dv

(5) fix,y,z,u,v) = o, m(a;,y,z,u,v) = o, - -J - - = o.

Nous avons vu précédemment les propriétés essentielles des développables et des congruences de droites; nous n'aborderons pas la théorie générale des enveloppes et des congruences de courbes, dont l'étude exigerait de trop longs développements, et nous renverrons, pour cette théorie, à l'ouvrage de M. Darboux {Leçons sur la théorie des surfaces, tome II, chap. I).

Remarque. — La théorie des surfaces enveloppes est sujette à bien des restrictions; il pourra arriver par exemple que les éliminations fassent disparaître tous les paramètres, ou n'en laissent

3o>, TROISIÈME PARTIE. — COURBES TRACEES SUR UNE SURFACE.

subsister qu'un seul; dans le premier cas l'enveloppe se réduirait à un ou plusieurs points isolés; dans le second cette enveloppe serait non plus une surface mais une courbe. Ces cas exceptionnels, qui jouent un rôle très important dans la théorie des équations aux dérivées partielles, présentent peu d'intérêt au point de vue géométrique et nous n'y insisterons pas.

Nous sommes en définitive amenés à considérer deux espèces d'enveloppes, les unes à un paramètre, les autres à deux paramètres. Les plus simples et les plus intéressantes sont les enveloppes de plans ou de sphères. Lorsque l'enveloppée est un plan qui dépend d'un paramètre unique, l'enveloppe est la surface développante la plus générale sur laquelle nous n'avons pas à revenir; si l'enveloppée est un plan dépendant de deux paramètres u, c, les coefficients de ce plan, c'est-à-dire les coordonnées tangentielles d'un point quelconque de l'enveloppe sont immédiatement données en fonction des coordonnées curvilignes (w, c). La théorie des enveloppes de plans à deux paramètres se confond donc avec la théorie d'une surface quelconque en coordonnées tangentielles.

Nous n'avons donc à étudier, avec quelques détails, que les enveloppes de sphères. Nous considérerons d'abord celles qui dépendent d'un seul paramètre et auxquelles on a donné le nom de périsphères ou surfaces périsphériques.

86. Enveloppes de sphères à un paramètre. — Supposons donc que la surface S soit une sphère dont l'équation dépende d'un paramètre unique t; les coordonnées du centre et le rayon sont des fonctions de ce paramètre, le centre décrit une certaine courbe (C) dont la tangente est perpendiculaire au plan radical de S et de la sphère infiniment voisine S'. La caractéristique est un cercle K ayant pour axe la tangente au point correspondant ni de la ligne des centres {fig> 92). Soient /// le centre de l'enveloppée, M un point quelconque de la caractéristique. Mm est normale à l'enveloppée et par suite à l'enveloppe; donc les normales à l'enveloppe le long de la caractéristique forment un cône de révolution ayant pour sommet le centre de l'enveloppée, donc : chaque Caractéristique est une ligne de courbure de l'enveloppe.

La réciproque est vraie ; supposons qu'une surface S admette