CHAPITRE XVIII. — SURFACES ENVELOPPES. 3o

pour ligne de courbure un certain cercle (K); nous pouvons faire passer par ce cercle une sphère (S) qui touche la surface en un point donné M; le cercle (K.) étant une ligne de courbure commune à S et à S, ces deux surfaces se coupent le long de ce cercle sous un angle constant, et puisque cet angle est nul en M il est nul en tous les points du cercle ; on voit de plus que le rayon de courbure

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principal correspondant est égal au rayon M de la sphère; donc :

Toute surface qui admet comme ligne de courbure un cercle se raccorde avec une sphère tout le long de cette ligne de courbure et le rayon de courbure principal correspondant est égal au rayon de cette sphère.

Sur une enveloppe de sphères à un paramètre, les caractéristiques forment d'après cela une première famille de lignes de courbure ; la seconde famille se compose des trajectoires orthogonales de ces caractéristiques.

Réciproquement, si une surface admet comme lignes de courbure une famille de cercles, elle se raccorde suivant chacun d'eux avec une sphère S dont l'équation dépend d'un paramètre unique; on a donc, en résumé, le théorème suivant :

Théorème. — Pour qu une surface soit périsphérique, il faut et il suffit qu'une de ses deux familles de lignes de courbure soit composée de cercles.

Remarques. — Soient M un point quelconque de la surface, K, le centre de la sphère S qui touche la surface en ce point, K2 le second centre de courbure principal; si M décrit une ligne de courbure circulaire (C), K, est immobile; la normalie correspondante est un cône de révolution, sur lequel les points K2 et M