TROISIEME PARTIE

se correspondent homographiquement; le lieu du second centre de courbure est donc une conique; ce théorème est dû à Ribaucour. Lorsque le cercle (G) varie, le point K, décrit une courbe (T) qui forme la première nappe de la développée ; la seconde nappe est une surface engendrée par les coniques de Ribaucour et inscrite, suivant chacune d'elles, dans un cône de révolution avant son sommet sur la courbe (Y).

Supposons que les deux familles de lignes de courbure d'une surface S soient circulaires. Soit Ct une ligne de courbure de la première famille, S, la sphère tangente à S suivant le cercle C, ; prenons sur C, trois points M, M', M" et considérons les trois cercles C2, C!>, C^ de la seconde famille qui passent par ces trois points et qui coupent à angle droit le cercle C, {fig. o,3); soient

Fig. i)3.

enfin S2, S'2, S", les trois sphères qui se raccordent avec la surface S suivant les trois cercles Co, C',, C!, ; ces trois sphères touchent évidemment la sphère S, aux trois points M, M', M ", respectivement. Si nous faisons varier maintenant le cercle G, de telle sorte qu'il coïncide successivement avec toutes les lignes de courbure de la première famille, il engendre la surface considérée S et coïncide à chaque instant avec la caractéristique de la sphère S< qui, restant tangente à trois sphères fixes Sa, S,, S2, dépendra bien d'un paramètre unique; la surface à lignes de courbure circulaires ou cyclide de Dupin, est donc l'enveloppe d'une sphère variable (jui reste tangente à trois sphères fixes; je dis que, réciproquement : Lorsqu'une sphère variable /este constamment tangente èi trois sphères fixes, elle enveloppe une cyclide de Dupin.

Soient en effet S la sphère variable, S,, Sa, S:! les trois sphères lixes auxquelles elle doit rester tangente. Il est d'abord évident que cette sphère S dépend d'un seul paramètre; supposons que