CHAPITRE XVIII. — SURFACES ENVELOPPKS. 3o

les trois sphères fixes se coupent en un point réel et faisons l'inversion en prenant pour pôle ce point fixe; S, , S2 , S3 se transforment en trois plans P,, P2, P:l auxquels la transformée de S devra rester tangente; l'enveloppe de celte transformée sera formée des quatre cônes de révolution inscrit et exinscrits dans le trièdre formé par les trois plans P,, P2, P3 ; or les lignes de courbure d'un cône de révolution sont des cercles et des droites qui par une transformai ion inverse donneront des familles de cercles. Lorsque les trois sphères fixes n'ont aucun point réel commun, on peut procéder de la manière suivante : le plan des centres coupe ces sphères suivant trois grands cercles orthogonaux à un quatrième qui est, dans le cas actuel, toujours réel ; prenons alors pour pôle d'inversion un point quelconque de ce quatrième cercle; il se transforme en une droite D et les trois autres en trois cercles orthogonaux à D et ayant par suite leurs centres 0|, 02, 03 en ligne droite; on est donc ramené à chercher l'enveloppe d'une sphère qui reste tangente à trois sphères fixes ayant leurs centres en ligne droite (fig- 94)- Soient O le centre delà sphère variable, mif m2, />?:}les

Fi g- 94-

trois points de contact. Les trois droites Omt, Om2, Om3 devant passer respectivement par les trois centres Ot , 02, 03 sont dans un même plan avec la droite D, le rayon de la sphère variable sera constant ainsi que la distance de son centre à la droite D ; car un cercle est déterminé complètement par la condition d'être tangent à trois cercles fixes situés dans un même plan. La surface transformée sera par conséquent engendrée par la rotation d'un tel cercle autour d'une droite située dans son plan ; ce sera un tore. Les méridiens et les parallèles sont les lignes de courbure et, comme le méridien est un cercle, toutes les lignes de courbure sont circu-

3o6 TROISIÈME PARTIE. — COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACK.

taires : La même propriété appartient à toutes les surfaces réciproques du tore et par suite à la surface S.

Remarques. — i° La cyclide de Dupin étant la réciproque d'un cône de révolution est évidemment une surface du quatrième ordre.

■2" L'équation d'un tore engendré par la révolution d'un cercle de rayon a autour de l'axe de ; est, en appelant d la distance de Taxe oz au centre du méridien.

I \ .)•'- — y- — d '>- — z- — a-, ou encore