I ./•'- — r- — Ja -1- d2 — a1 )- = \ di{ .r2 -+- y

Celte surface admet donc comme ligne double le cercle de l'infini et il en est de même, d'après les propriétés de l'inversion, delà cyclide de Dupin.

On adonné, par extension, le nom de cyclide à toute surface du troisième ou du quatrième degré, qui demeure invariable quand on la soumet à une inversion convenablement choisie ( Darboi x, Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques).

3° Tout plan tangent à un tore et passant par le centre touche la surface en deux points symétriques par rapport à ce centre; chacun des deux points de contact est un point double de l'intersection du tore et du plan tangent ; cette intersection est d'ailleurs une quartique avant les points cycliques pour points doubles: elle admet donc quatre points doubles et par suite se scinde en deux coniques dont chacune passe par les points circulaires à l'infini, c'est-à-dire en deux cercles; la cyclide de Dupin admet donc, outre les deux familles de lignes de courbure, deux séries de sections circulaires ; en d'autres termes, il existe une famille de sphères bitangentes dont chacune coupe la cyclide suivant deux cercles.

4" Nous avons vu que, si l'une des familles de lignes de courbure est composée de cercles, la nappe correspondante de la développée se réduit à une courbe ; dans le cas particulier de la cyclide de Dupin, toutes les lignes de courbure étant circulaires, la développée se compose de deux courbes; d'après ce qu'on a vu plus haut (p. 3o \ ). ces deux courbes sont des coniques dont chacune est le lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits à l'autre. On voit de même que, réciproquement, si les normales d* une surf ace rencontrent deux courbes fixes, ces deux courbes sont des coniques focales l'une de l'autre, et la surface est une cyclide de Dupin.

<:ll\l>ITRE XVIII. — SURFACES ENVELOPPES. 307

Surface canal. —On a donné le nom de surface canal à l'enveloppe d'une sphère de rayon constant dont le centre décrit une courbe donnée quelconque. Le plan radical de deux sphères égales étant perpendiculaire à la ligne des centres en son milieu, le plan de la caractéristique, dans le cas d'une surface canal, coïncidera avec le plan normal de la ligne des centres; cette caractéristique étant d'ailleurs un grand cercle de l'enveloppée aura un rayon constant ; une surface canal est donc engendrée par un cercle de rayon constant qui se déplace de telle sorte que son plan reste constamment normal à la trajectoire de son centre. On voit de plus que le rayon de courbure principal correspondant est constant dans toute l'étendue de la surface et égal au rayon de la sphère mobile. Réciproquement toute surface dont l'une des courbures principales est constante est une surface canal. En ellet, la variation du rayon de courbure principal correspondant, quand on passe d'un point A à un autre point B d'une ligne de courbure, sur une surface quelconque, est mesurée par l'arc correspondant de l'arête de rebroussement de la normalie ; si cette variation est nulle, l'arc est lui-même nul et l'arête de rebroussement se réduit à un point; la ligne de courbure considérée, dont le plan normal passe par un point fixe, est située sur une sphère ayant ce point pour centre et qui touche la surface tout le long de la ligne de courbure considérée. En d'autres termes : si tout le long d'une ligne de courbure d'une sur/ace le rayon de courbure principal correspondant reste constant et égal à a, la surface se raccorde suivant cette ligne avec une sphère de rayon a. Supposons alors que le rayon de première courbure, par exemple, soit constant et égal à a ; toutes les lignes de première courbure satisferont à la condition précédente ; la surface sera donc tangente le long de chacune d'elles à une sphère de rayon a. Ce sera donc l'enveloppe à un paramètre, d'une sphère de rayon constant, c'està-dire une surface canal.

Surface dont les deux rayons de courbure principaux sont

constants. — Si les deux courbures principales demeurent, l'une

et l'autre, constantes dans toute l'étendue d'une surface, elles sont

nécessairement égales et cette surface est une sphère (Bertrand,

Cale, diff'., p. 7^4)-

3o8 TROISIÈME PARTIE. — COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE.

En effet, toutes les lignes de courbure étant évidemment des cercles, la surface est une cyclide de Dupin ou, comme on l'a vu, l'enveloppe dune sphère qui reste tangente à trois sphères fixes ; or, dans le cas actuel, la sphère mobile ayant un rayon constant, les distances de son centre aux trois centres des sphères fixes demeurent invariables ; cette sphère a donc un centre fixe (' )et ne peut que tourner autour de ce centre en coïncidant constamment avec elle-même. La surface se réduit bien à une sphère, c. q. f. d.

Remarque. — Cette démonstration et la précédente supposent la surface réelle.

87. Enveloppes de sphères à deux paramètres. — On peut toujours, et en général d'une infinité de manières, définir une surface quelconque S comme l'enveloppe à deux paramètres d'une surface variable S d'espèce donnée; si ces surfaces S doivent être des sphères, on choisira, pour représenter chaque point M de la surface S, un système de coordonnées curvilignes (m, c) ; on portera sur la normale en chaque point M une longueur MK = p fonction arbitraire de ces deux paramètres ; la surface S sera alors évidemment l'enveloppe d'une sphère variable de centre K et de rayon p. Si les coordonnées du point M sont /'(?/, i), ç; (w, c), à(u,v) et qu'on désigne par a(«, c). u(m,v), v(m, v) les cosinus directeurs de la normale, l'équation de la sphère enveloppée sera

— ap[X(a? — /> -+- u.(y — »)•+- v(.s — *!*)] = "•

Inversement, on aura une famille de sphères à deux paramètres si l'on se donne deux relations constantes entre le rayon p et les coordonnées a, b, c du centre.

Surfaces cerclées. — Ce mode de représentation analytique se prête avec une facilité particulière à l'étude de la surface engendrée par un cercle de rayon et de position \ariables. Ln raisonnement géométrique très simple conduit au système de sphères bitangenles le plus avantageux pour l'étude d'une telle surface. Nous laissons de côté le cas des sphères à un paramètre, c'est-à-dire le

(') Si les centres des trois sphères li\es étaient en ligne droite, la surface sel ail un tore et le théorème serait évident.