CHA.PITBE XVIII. — SURFACES ENVELOPPES

cas où chaque génératrice circulaire a deux points communs avec la génératrice infiniment voisine.

Remarquons d'abord que, deux cercles (C) et (C) étant placés comme on voudra dans l'espace, il existe un point, qu'on pourrait appeler leur centre radical et qui a même puissance par rapport à ces ileux cercles ; ce point est situé à la fois sur la droite suivant laquelle se coupent les plans de (G) et de (C) et sur la corde commune à l'un de ces deux cercles et à une splière quelconque passant par l'autre.

Ceci posé, soient i G), (G') deux génératrices circulaires, infiniment voisines, de notre surface; Q, Q' les plans de ces génératrices. Faisons passer par (G) une sphère fixe (S); cette sphère coupe (G') en deux points et ces deux points sont en ligne droite avec le centre radical de (G) et de (G'). Si (G') varie d'une manière continue et vient se confondre avec (G), ces deux points viendront occuper sur (G) deux positions limites M, Vf en ligne droite avec un point bien déterminé P, centre radical des deux génératrices infiniment voisines ; il est évident d'ailleurs que la sphère (S) et la

Fig. o5.

surface cerclée se touchent en chacun des points M, M! [fig- g5). Chaque point pris sur l'axe du cercle générateur est donc le centre dune sphère bitangente à la surface en deux points de cette génératrice : toutes les cordes de contact vont concourir au point P ; en outre la sphère S de centre P qui coupe orthogonalement G est orthogonale à toutes les sphères de deux séries consécutives. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Étant donnés un axe X et une sphère (S) qui varient simultanément en fonction d'un seul paramètre, la surface cerclée

oIO TROISIEME PARTIE. — COURUES TRACEES SLR UKE SURFACE.

la plus générale est i 'enveloppe, à deux paramètres, d'une sphère variable assujettie ci avoir son centre sur X et à couper orlhogonalement (S).

Les propriétés les plus importantes des surfaces cerclées sont presque évidentes, quand on adopte ce mode de définition. Nous dirons que deux points M, M' d'une même génératrice, en ligne droite avec le pôle P, forment un couple de points conjugués. A un tel couple de points correspond une sphère bitangente et une seule; les deux normales correspondantes coupent l'axe (X) au même point; les deux plans tangents sont également inclinés sur le plan Q de la génératrice ; leur droite d'intersection s'appuie à la fois sur l'axe X et sur la polaire du point P, trace sur ces deux droites deux divisions homographiques et décrit par conséquent un hyperboloïde.

Deux points conjugués ne peuvent se confondre que s'ils viennent, soit en (C), soit en (C), sur la polaire de P, mais alors la droite d'intersection des deux plans tangents a pour limite la tangente conjuguée de la tangente au cercle PC ; elle est évidemment perpendiculaire à PC qui est, par suite, une direction principale. Il existe donc sur chaque génératrice deux points et deux seulement, où elle est tangente à une ligne de courbure ; ces deux points sont situés sur la polaire de P.

Si le centre de la sphère bitangente s'éloigne indéfiniment, la sécante MM' devient la caractéristique AA' du plan Q de la génératrice. Les deux points conjugués AA' sont caractérisés par ce fait qu en chacun d'eux la génératrice est tangente à une ligne asymptotique ; car, en l'un de ces points, le plan du cercle est tangent à la surface.

On voit aussi que, si la sphère (S) admet (G) comme grand cercle, les normales aux deux points conjugués correspondants a, a' sont toutes deux situées dans le plan Q ; il est aisé de voir que cette sécante aa'estsituéedans le plan normal delà trajectoire du centre O.

Cherchons enfin, pour terminer, la surface formée par les normales dont les pieds appartiennent à une même génératrice ; cette question est analogue à celle qui concerne la distribution des plans tangents à une surface réglée le long d'une même génératrice. La surface cherchée coupe le plan Q suivant un lieu du quatrième

CIIAPITKE XVIII.