SURFACES ENVELOPPES

ordre formé des deux normales aOa, , a'Oa', elde la génératrice (G), et comme chaque point du lieu autre que a, et a, est certainement un point simple, la surface (N) engendrée par les normales est du quatrième ordre, cela résulte d'ailleurs de ce qui suit. Cherchons le lieu des points de cette surface (N), d'où partent deux normales ayant leurs pieds sur (G); comme toutes les normales doivent rencontrer l'axe (X),' ce lieu se scinde en deux : d'une part l'axe (X) qui correspond aux couples de points conjugués, d'au Ire part le lieu des points d'où l'on peut mener deux normales dont les pieds soient diamétralement opposés.

Or ce dernier lieu a sur OX un point H, bien déterminé, correspondant au cas où les pieds des deux normales sont à la fois conjugués et diamétralement opposés et par suite sur le diamètre PO. Tout plan mené par Taxe du cercle coupe le lieu cherché en un seul point, distinct de H ; donc ce lieu est une conique ( K.) qui passe parles points H, a, , a\ ;.son plan est ainsi déterminé ; elle rencontre d'ailleurs les parallèles à X, menées par les deux points A et A', en deux points qui achèvent de la définir (Jig. q5).

On est ainsi conduit à la construction suivante (Jig. 96) de la

Fig. 96.

normale en un point M quelconque de la génératrice (G). Ayant construit la conique K à l'aide des cinq éléments qui la définissent, on déterminera le point d'intersection N de cette conique avec le plan MOX ; la droite MIS sera la normale cherchée. La surface réglée engendrée par toutes les normales dont les pieds sont sur O est ainsi définie par les trois directrices (G), X et (K). Il est aisé d'obtenir l'équation de cette surface et l'on vérifierait qu'elle est bien du quatrième degré. [Cf. Sur les surfaces à génératrice circulaire (Annales de VE. N., 1 885, p. 180).]