CHAPITRE XIX
< . K O M ET I U E C1N É M Aï I Q U E .
Formules générales du déplacement . on paramètre. — Application a la théorie des surfaces réglées; distribution des plans tangents et des normales le long d'une
génératrice. surface conjuguée. étude des lignes
tracées sur une surface réglée. llgne de striction,
LIGNES GÉODÉSIQUES. LIGNES ASVMPTOTIQUES d'uNE SURFACE
réglée. — Lignes de courbure et courbures principales; détermination des surfaces réglées définies par une propriété de courbure.
8(). Nous terminerons cette première partie de la théorie des surfaces par l'exposé dune méthode qui permet de réduire, à chaque instant, à une forme géométrique, les résultats obtenus par l'analyse ; celte méthode ( ' ) repose sur des formules bien connues de cinématique que nous rappellerons d'abord.
Considérons un trièdre trirectangle Qxyz qui se déplace d'une manière continue en fonction d'un paramètre f>, celte variable v étant, si l'on veut, le temps écoulé depuis une époque déterminée. Soient «, 6, c, les coordonnées du sommet par rapport à un système d'axes fixes 0(J7|, Otyt1 0( -i et supposons les cosinus directeurs des trois arêtes représentés par le tableau suivant :
Ox
Oy
Oz
(') Pour une étude plus complète du déplacement à un paramètre, ou à deux paramètres, voir : DARBOUX, Leçons sur la théorie générale des surfaces, Chap. I et suivants: Kœnigs, Leçons de Cinématique, Cliap. VI et IX.
( HAPITRE \I\. — GÉOMÉTRIE CINKMATIQUR. 3l3
Les douze quantités </, A, c; a,, 3,, y, ; y.,. ... : . . . , y3 sont des fonctions de v et les coordonnées d'un même point INI quelconque par rapport aux deux systèmes d'axes sont liées par les équations
!./-, = a-h *\X -+- 3, y -+- y, -s, >-, = b -+- a2.r -h Psj -+- 7, z, zx = c -t- -/3a- -4- 3:, 7 h- Ys 3-
La méthode consiste à prendre pour axes fixes à chaque instant les trois droites '«krec lesquelles coïncident les trois arêtes du trièdre mobile. On aura alors, au commencement de l'instant dv,
lsc = xx, r = jKi, z = zu a = b = c = o, a, = |îa = y» = 1,
\ pi = Y« = *î= Y* = as= Ps= o,
formules de réduction qui devront n'être appliquées à une relation quelconque qu'après les diflerentiations. On a par exemple en dififé rendant à! abord les deux relations
A ■+- Pî -+■ YÏ = ïi "2 «3 •+■ sî 33 -+- y-2 Ys = °>
et appliquant ensuite les formules (2)
dcii = o, rf[i,3 -4- û?Ya = ° i
nous aurons donc, en représentant par un accent toutes les dérivées prises par rapporta c,
«î = P2 =Ys = o.
aï ■+■ Y a = ». Y'i + «'s = o, a2 + S', = o,
ce qui complète l'ensemble de nos formules de réduction.
Ceci posé, diflerentions les formules ( 1 ) en les simplifiant à l'aide des formules (2) et (3). Le point M(x,y, z) pouvant se déplacer d'une manière quelconque, x,yetz sont des fonctions de certaines variables et nous aurons dans tous les cas, en formules réduites,
dx{ = dx -+■ (a' -h Yt z -+- p\ y) dv, dyx = dy -+- ( b' -+- %\ x -+- Y2 z) dv, dz\ = dz ■+- (c' -+- $'3y -t-a3 se) dv.
l'osons maintenant
Pi = — 72 =P\ Yi = - *i =9i *ï = — û'i = ''
3l4 TROISIÈME PARTIE. — COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE.
et représentons par 8#, 8y, oz les composantes du déplacement du point 1VI par rapport aux axes fixes, nous obtenons les formules fondamentales :
l 8a? = dx -+- (a' '-+■ qz — ry) dv,
( 4) l ày = dy -+- ( b' -+- rx — pz) dv, f os = dz -+- (c' -\- py — qx)dv.
Ces mêmes relations permettent d'évaluer la variation infiniment petite d'une direction. Soient en effet £, 7|, Ç les cosinus des angles qu'elle fait, à l'instant p, avec les axes mobiles ; menons par le point fixe O, un vecteur parallèle à cette direction et de longueur i ; l'extrémité de ce vecteur aura pour coordonnées relatives — a -+-£, — b +?), — c + s et les composantes de son déplacement absolu seront données par les formules (4) qui deviennent
( 5 ) < 8ïj = di\ -4- ( /•£ — p £) <afi',
( 8Ç = rfÇ -+- (/?7) — r/ £ ) «fp.
Les formules (4) et (5) contiennent toute la théorie du déplacement à un paramètre. Si nous en faisons l'application à chacune des trois directions des arêtes du trièdre, nous obtenons immédiatement
!pour Oa?(£ = i, 7j = Ç = oj, o£=o, 8ttj = rdv, 8Ç= — q dv,
pour Oy(% = Ç = o, i} = i), 6ç= — rdi\ ot, = o, o~Ç=pdv,
pour Oi(5 = i) = o, L =i), 8£=<7<ii', 87) =— •/> rfi>, oÇ = o.
Déplacement des arêtes du trièdre. — Considérons par exemple l'axe Oz : à la fin de l'instant rfc il occupe une position O' z et ses équations sont alors
- * ^ — a' dv y — &' */c s — c' ^c
q dv — p dv i
L'angle s formé par les deux directions Oz, O'z' a pour valeur
(5) s = yp*~+~qî dv.
La projection de O'z' sur le plan des xy a pour équation px -4- <7JK = ( qb' -+- pa' ) dv.
CEfAPITRE XIX. — GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 3l5
La plus courte distance / entre O^ et O 'z' a donc pour valeur
pa'-h- qb' , (9) ' = , , , dv-
vp-^-q-
Enfin la perpendiculaire commune à O; et O' s'a pour projection sur le plan des xy la droite qx — py = o, d'où l'on conclut, en raison des équations ( - ), pour l'ordonnée du point où cette perpendiculaire commune vient, à la limite, couper Qz (point central) :
r,»\ i - Pb' —{la'
Un simple changement de lettres donnerait trois formules analogues à ces formules (7), (8) et (9) pour la droite Qx ou pour Oy.
Remarque. — Si l'on avait à envisager le déplacement de l'une des faces du trièdre, du plan^Oy par exemple, on obtiendrait, de la manière suivante, l'équation de sa caractéristique. En tout point lié invariablement au plan, a?} y, z sont trois constantes dont la dernière est nulle puisque le point appartient au planxOj', et l'on a d'après les équations (4)
ox = (a' — ry)dv, 8y = {b' ■+- rx) dv, $z 5= (c' -+- py t- gx)dv,
Or les points de la caractéristique sont évidemment ceux pour lesquels oz est infiniment petit d'ordre supérieur; on a donc pour les équations de cette droite
(11) 3 = 0, py — ya?-Hc'=o.
On arrive au même résultat en remarquant que l'équation du planay'O'-s', infiniment voisin de xQy, est, d'après les formules (7),
g dv(x — a' dv ) — p dv(y — b' dv ) -+- z — c' dv = o.
87 . Application aux surfaces réglées. — Considérons une droite (G) qui se déplace d'une manière quelconque en fonction d'un paramètre v. Prenons pour axe des s cette droite (G) et pour axe des x la perpendiculaire commune à (G) et à la droite (G7) infiniment voisine, de sorte que l'origine coïncide avec le point central. On aura alors, d'après l'une des formules (7), </ = o, car (G') devra être perpendiculaire à Qx;àe plus, le z du point central
3l6 TROISIÈME PARTIE, — COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE.
devra être nul, et on aura, en vertu de la formule (10), pb' — qa'=^o, d'où/>tV = o. Or si p était constamment nul, en même temps que or, l'angle e de (G) et de ( G') serait constamment d'ordre supérieur au premier et par suite identiquement nul ; la surface engendrée par b serait un cylindre ; en laissant de côté ce cas particulier, on devra avoir b' = u. Ceci posé, nous déterminerons chaque point M de la surface par deux coordonnées curvilignes dont lune sera v et l'autre la distance z de ce point au point central de la génératrice correspondante; nous aurons alors pour les coordonnées
x = o, y = o, z = u, et les formules (4 ) se réduiront à
o.r = a' dv. oy = — pu dv, oz = du -+- c' dv .
Nous pouvons y introduire dès maintenant des éléments purement géométriques. Si nous les appliquons au point central, nous aurons, pour un déplacement effectué sur la ligne de striction, ou lieu des points centraux,
or = a dv, oy =■ o, 8.s = c' dv.
Nous pourrons prendre pour variable v l'arc de la ligne de striction, ce qui revient à laisser de côté le cas où la surface serait un cône ; si nous appelons u l'inclinaison de cette ligne sur la génératrice b nous aurons, en vertu de ces formules,
o.r = dv sin co = a' dv, oz = dv costo = c' dv, «=sinu>, c'=cosio;
d'autre part les formules (8) et (9) se réduisent dans le cas
actuel à
£ = ût, = — p dv, l = a dv = sin co dv,
Nous aurons à considérer le rapport j que nous désignerons par
m et les formules précédentes se réduisent à p = — tts sin u>; on a donc en définitive pour les formules du déplacement
(12) ox = dv sin w, oy = mu sidoj dv, b*z = du -t- cosio dv.
Surface conjuguée. — La perpendiculaire commune à la gêné-
