CHAPITRE MX. — GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE

Patrice infiniment voisine, engendre elle-même une surlace réglée qui est dite conjuguée de la première. Celte perpendiculaire commune coïncide, d'après notre choix d'axes, avec Ox ; appelons £1 . /| . M, les éléments relatifs à cet axe, analogues à ceux que nous avons désignés pour Os par e, /, m. Nous aurons, d'après les formules (6), (8), (9) convenablement transformées,

qa'-{- rc ,

e, = r <h\ /, = «<> = c «f, /■ = tttj coso).

formules qui mettent bien en évidence la réciprocité de situation des deux surfaces et justifient le nom de surfaces conjuguées ; elles ont même point central, même ligne de striction et même plan tangent en chaque point de cette ligne. En résumé tous les paramètres qui figurent dans les formules fondamentales ont maintetenant une signification géométrique :

«'=sinto, b' = o, c'=cosu>. p= — rosiau),

q = O, T = 77T| cosw.

Remarquons enfin que les équations

caractérisent respectivement les cylindres, les surfaces développables, celles qui sont formées par les binormales d'une courbe gauche, et les surfaces à plan directeur.

Plan tangent. Normale.- — -SiA,B, C sont trois coefficients proportionnels aux cosinus directeurs À, jj., v, de la normale, on doit avoir identiquement

A Zx -r- B oy -+- C 03 = o.

Remplaçons ou.-, oy, 8s par leurs valeurs (12) et annulons le terme en du et le terme en dv, nous avons ainsi

A sin oj -+- Brjj u sin w -+- G cosw = o. G = o.

Nous pouvons donc prendre

(i3) A= — mu, B=i, G = o.

L'équation du plan tangent au point M est donc

Y = rsuX.

3l8 TROISIÈME PARTIE. — COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE.

L'angle tp que fait le plan avec zOx est donc donné par la formule tangcp = njM, d'où l'on déduit immédiatement les propositions que nous avons démontrées (première Partie) et que nous rappellerons rapidement ici :

i" Le rapport anharmonique de quatre points <Vune même génératrice est égal à celui des quatre plans tangents correspondants.

2° Le point O est le point central dJ une involution formée par les couples de points de ta génératrice où les plans tangents sont rectangulaires.

3° Les normales aux différents points d'une même génératrice forment un paraboloïde hyperbolique.

Remarquons encore que les cosinus directeurs de la normale sont donnés par les formules

(i4) X = — sino, jj. = coscp, v = o ( tangcp = tsu ).

88. Étude des lignes tracées sur la surface. — Si l'on ajoute les carrés des formules ( 12) il vient

ds- = (1 -t- ra'2 iï2 ) sin2o) dv- -±- ( du -+- cosw dv )-.

ou, en appelant i l'angle de la ligne considérée avec la génératrice,

y 1 -+- m- «2 sin 10 dv = ds sin i,

du -+- cosco dv = ds cosi.

Les formules ( 1 2 ) donnent alors, en employant les notations que nous avons toujours adoptées pour les lignes à double courbure.

= sin 1 cos<

1 y7' -t ra2"2

(16 ) < 0 Tjsu sini ...

v 1 p= — = sin; sin cp,

\ y = cos i.

Si l'on différentie ces formules, à l'aide des équations (5) on en déduira, par l'application des formules de Serret, les propriétés relatives à la courbure et à la normale principale ; cette dernière