CHAPITRE XIX. — GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE. 3lQ
direction étant connue on aura les cosinus directeurs de la hi normale, auxquels on pourra appliquer ces mêmes équations (5)pour calculer la torsion et ainsi de suite. Nous dirons seulement quelques mots des propriétés de la ligne de striction.
Ligne de striction. — Pour la ligne de striction on a
a = sin to, X = o,
Mo, [1 = 1,
Y = cos< v = o.
Appliquons les formules (5) et les formules générales de Serret
SX = — r dv.
ut' cosw dv = — dv,
38 = (/• sin w — p cosw ) dv = — dv,
oy = -
dv = ±-di>,
8v = p dv,
p étant le rayon de courbure de. la ligne de striction. L'angle 9 que fait la normale principale avec la normale oy à la surface a évidemment pour cosinus [i' ; on a donc par la courbure normale et la courbure géodésique de la ligne de striction
Pu
cosO . . . .
= = /• sin w — p cosw = (ra -+- ttjj ) sin w cosw,
i sinO ,
Quant à la torsion géodésique =r elle est donnée par la formule (£76, p. 261)
dv
SX 8(1 o\
= p sinw -1- r cosw = xni cos2 w — m sin2 w.
On a donc en résumé, pour la courbure tangentielle, la courbure normale et la torsion géodésique de la ligne de striction
<TH ■+- CTi) sin w cosw,
— - = w\ cos2 w — w sin2 w.
On en déduit immédiatement un certain nombre de propositions importantes. Supposons, par exemple, que l'angle w soit constant ; la ligne de striction aura une courbure géodésique nulle en
tous ses points; elle sera ce qu'on appelle une ligne géodésique
de la surface. Réciproquement si — est nul 10 reste constant; donc:
r l Pe
Théorème. — Pour que la ligne de striction d'une surface réglée soit une ligne géodésique de cette surface, il faut et il suffit qu'elle coupe les génératrices sous un angle constant (O. Bonnet).
Cherchons encore dans quel cas la ligne de striction sera asymptotique; la courbure géodésique devant être, dans ce cas, identique à la courbure propre, la première des formules ( 17) donnera
<o' = — comme condition nécessaire et suffisante ; d'autre part la
courbure normale devant alors s'annuler la seconde formule (17) donnera ra-f-ro, = o, d'où ce théorème :
Théorème. — Si en chaque point d"1 une courbe gauche on mène, dans le plan oscillateur, une droite faisant avec la tangente un angle variable dont la différentielle soit égale à C angle de contingence, cette droite engendre la surface gauche la plus générale dont la ligne de striction soit en même temps une ligne asymptotique ; les coefficients de distribution des plans tangents pour une telle surface et pour sa conjuguée sont égaux et de signes contraires (Catalan).
Remarque. — Nous avons laissé de côté les surfaces développables et les surfaces de binormales ; pour les surfaces développables, c'est-à-dire co = o, m = 00, la ligne de striction est é\ idemment une ligne asymptotique, mais non une ligne géodésique; le premier théorème tombe alors en défaut; ce serait, au contraire, le second qui cesserait de s'appliquer pour les surfaces de binormales (nr, = ce, w = -) ; la ligne de striction étant bien alors une
géodésique, mais n'étant pins asymptotique. On remarquera que la seconde des formules (17) devient illusoire dans l'un et l'autre cas.
On exprimera enfin que la ligne de striction est une ligne de courbure en écrivant que la torsion géodésique est nulle en chaque point, ce qui donne, d'après la dernière des formules (17),
(18) rai cos2u> = m si n2 ai.
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Un cas particulier intéressant est celui où la surface est de révolution, il est bien évident que le point central décrit alors un parallèle de la surface, donc une ligne de courbure, et que la relation (18) est alors satisfaite ; que, d'autre part, <o et bt demeurant invariables quand on passe d'une génératrice à une autre, les trois quantités w, gt, m, sont constantes et liées par la relation (18). Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes et par suite caractérisent llivpeiboloïde de révolution. Si en effet on les suppose remplies, les formules précédentes donnent
i n, , I T3 -i- Wi .
a = o, p=i, Y = o, - = sni2w = const. ;
on en déduit pour les cosinus directeurs de la binormale les valeurs
a*= Py' — yP,== — cosoï, (3*=o, Y"=sinw
et, en appliquant les formules générales (5),
da" = d$" = d-f = o.
La torsion est donc nulle et la ligne de striction est plane ; comme sa courbure est constante, c'est un cercle; une génératrice quelconque s'obtient en menant par chaque point de ce cercle une droite perpendiculaire au rayon et faisant avec l'axe du cercle un angle constant et égal à w. La surface est donc bien un hyperboloïde de révolution.
Lignes géodésiques. Lignes asymptotiques. — Pour qu'une ligne soit géodésique il faut que sa normale principale soit, en chacun de ses points, normale à la surface. Lorsque celle-ci est engendrée par une courbe variable, il suffit, pour avoir l'équation des géodésiques, d'exprimer que cette normale principale est normale à la génératrice G. Dans le cas actuel, l'équation des lignes géodésiques sera y' ou 8y= o, ou, en appliquant les formules (5)
et (6),
— sini di -f- p sin i sincp dv = o,
ou, en supprimant la solution évidente i = o,
(19) di-h m sinto sincp dv = o, ( tangcp = wu, p = — Trrsinujj.
C'est l'équation différentielle des lignes géodésiques ; nous nous D. 21
contenterons d'en déduire le théorème suivant qui comprend une propriété énoncée plus haut et la réciproque de cette proposition :
Théorème. — Si une géodésique est en même temps une trajectoire des génératrices, elle se confond avec la ligne de striction ; si la ligne de striction est une ligne géodésique, elle coupe toutes les génératrices sous le même angle ; enfin si la ligne de striction est une trajectoire des génératrices, c'est aussi une ligne géodésique (O. Bonnet).
En particulier si w = -, la génératrice est la binormale de la ligne de striction.
Lignes asymptotiques. — Si Ton appelle A, B, C trois coefficients proportionnels aux cosinus directeurs de la normale, H2 la somme de leurs carrés, les cosinus directeurs ont pour valeurs
tt' 77' 7ï et l'on a, en appliquant les formules < 5). dans le cas le plus H H H
gênerai
8X = A d~ -h j{ [dA-+-(qC — r B) dv], 8ji = Brf^ + JL[rfB-+-(#-A— pC)dv], d» = Crfl -h ^ [dC -+- (p B — q A ) dv].
Si Ton forme la combinaison o\ox -h oaoy + oc Sz, le terme eu d —
disparaît et, si l'on désigne par 8A, SB, oC les expressions comprises entre les crochets, on a pour l'équation des lignes asymptotiques
o r 6A -t- 0)' on -f- 03 oL. = o,
ce qu'on n'aurait pu écrire sans calcul en remarquant que o A, 8B, oC sont proportionnels aux variations absolues des coordonnées du point directeur de la normale. Or on peut prendre A, B, C respectivement égaux à — tt>u, H-i, o et l'on a simplement
[ 8 \ — — m du — (rar' « -+■ r) dv = — ttt du — (ttw/ H- ra, costu ) rfp, ( 20 ) ' 8B = — xsru dv,
8C = p dv = — fa sincn dv.
