CHAPITRE I. — COURBURE OKS LIGNES PLANES

et l'on aurait de même dans le cercle

TP " M,P d'où, en divisant membre à membre,

MT M^ M«P MÎN

IVVF a MP ~ b

Portons cette valeur dans la formule (5), elle devient

ii .t'-

en appelant p le paramètre — •

3° L'ellipse est définie par ses foyers et son grand axe. — Nous avons vu (§ o, p. î o) comment on détermine la tangente à une courbe sur laquelle on connaît une relation constante entre les distances de chaque point à deux ou plusieurs foyers. Proposonsnous, d'une manière générale, de construire le cercle de courbure, dans le cas où la courbe est- donnée par son équation en coordonnées bipolaires.

Soient F, F, les deux foyers donnés (fi g. 6); <p, cp, les angles de la normale en M avec les rayons vecteurs MF, MF, ; a', o les valeurs de ces angles au point M' infiniment voisin de M. Les deux normales se coupent en un point K qui a pour limite le centre de courbure; l'angle K mesure la courbure de l'arc MM' ; cela posé, les deux triangles L,KM, L,M'F,, d'une part, LM'K. LMF, d'autre part, nous donnent les deux relations d'angles

F, h <pi = <pi -H K, F -+- o = cp'-f-K, d'où, en ajoutant,

Reste à évaluer les angles F, F,. Or, on a dans les triangles FMM'rF,MM

sinF sinFMM' sinF, sinFiMM'

mr ~ fâT ' W = ~~ Fi M'

Portons ces valeurs clans l'équation (8), divisons par MM', et passons aux limites; il vient, en appelant R le rayon de courbure, ds la différentielle de Tare,

coscs cosepi d(tpi — <p)

K do

p ds sin cp,

Pi

dpi = </s sin©i.

ÎNous avons vu ( loc. cit.) comment on peut déterminer les angles © et es, ; la formule (g) donnera donc la solution dans le cas général. Revenons au cas particulier de l'ellipse, nous aurons o = of et, pour le rayon de courbure,

(io)

coso

ppl

Le triangle FMF, donne d'ailleurs immédiatement cos:p = i , on peut donc mettre la formule précédente sous la forme

(ii)

cos3© 4° Conique rapportée à un foyer et à la directrice corres-

Fig. 6.

JVT

pondante. — Nous avons vu (§ ">, p. i î ) que, pour une courbe plane définie en coordonnées bipolaires, on peut substituer à l'un ou à l'autre des foyers une courbe à laquelle le rayon vecteur correspondant soit astreint à demeurer normal. Prenons pour cette courbe une directrice rectiligne, et plaçons-nous encore dans le cas général. Si le point F, (fig. 6) s'éloigne indéfiniment, l'angle

précédemment désigné par F, s'annule; dvt devient égala la cour-