CHAPITRE XIX. — GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE

Multipliant par ox, oj% o: [éq. (12)], ajoutant et réduisant, il vienl

(21) 2 ra du ■+■ | m- ru2-+- m' u -+■ (toj -4- tît) cosw] dv = o.

C'est L'équation de Riccati déjà vue (§79) et dont nous avons déduit que quatre asymptotiques fixes coupent toute génératrice en quatre points dont le rapport anharmonique est constant. Remarquons seulement que si /• = o (surface à plan directeur) l'équation (21) devient linéaire; on a donc, dans ce cas particulier, le théorème suivant :

Théorème. — Lorsque la sur/ace est à plan directeur, trois asymptotiques fixes divisent les génératrices en segments proportionnels.

On peut encore mettre sous une autre forme l'équation des lignes asymptotiques en procédant comme pour les géodésiques ; il faut, dans le cas des lignes asymptotiques, exprimer que la normale principale est située dans le plan tangent c'est-à-dire qu'on a

A.o'+ BP'-hCy' = o,

ce qui se réduit ici, à cause des égalités A = mu, B = 1 , G == o à

mu Sa -+- o(J = o.

Mais il est plus simple de remplacer -j- par sa valeur (21) dans la

relation

du

COS CO -i 7-

av