COU

sinto y/l -+- m- u%

qu'on déduit des équations ( 1 5) en les divisant l'une par l'autre ; on trouve ainsi

{•in.) 'j.m y/i — 7TT2 u- si n tu cou -+- 7B2r«2-t- m' u -+■ (rat — m) cosco =0.

Cette équation fait connaître l'angle sous lequel la génératrice est coupée en chacun de ses points par la seconde ligne asymptotique; on en déduirait immédiatement le rapport des courbures principales en chaque point de la surface.

Si la surface est minima, c'est-à-dire si ses courbures principales

sont en chaque point égales et de signes contraires, cot/ devra être identiquement nul ; l'équation (22) donne alors, pour les conditions qui déterminent la surface réglée minima

IT>2/' = 0, to' = o, (rn1 — ct)cosio = o.

Rejetons la solution m = o qui ne convient pas puisqu'elle caractérise les surfaces développables, il vient d'abord /• = o, d'où ro, =0

et par suite 10 = — ; on a donc, en définitive,

7=0, ttt = A, ta = - (A- étant une constante).

Ces conditions s'interprètent aisément. La dernière exprime que l'axe Ox est tangent à la ligne de striction; la première [formule (6)] que cet axe des x a une direction constante; la ligne de striction se réduit donc à une droite; on a en outre m = — p = A. La génératrice rencontre donc à angle droit un axe fixe autour duquel elle tourne uniformément, tandis que son pied s'avance uniformément sur cet axe. La surface minima réglée est donc un hélicoïde gauche. On peut généraliser ce résultat. Cherchons en effet quelle est la surface réglée sur laquelle l'angle i des lignes asymptotiques, ou, ce qui revient au même, le rapport des courbures principales reste constant le long de chaque génératrice, tout en pouvant change!' d'une génératrice à la suivante. L'équation (22) doit alors se réduire à une identité par rapport à u quand on y remplace cot/ par une fonction de la variable v. Or si l'on met cette équation sous forme entière et qu'on égale à zéro les termes en là et en m3, on retrouve d'abord les deux conditions c = o, ttt' = o; mais l'équation s'abaisse au second degré et l'on doit avoir alors, pour que le terme en u- soit nul, coti'= o. On retombe donc sur le cas précédent et Ion a le théorème suivant :

Théorème. — L? hélicoïde gauche est la seule surface réglée dont chaque génératrice coupe sous un même angle toutes les lignes asymptotiques du second système.

89. Lignes de courbure. — On verrait, comme pour les lignes asymptotiques, que l'équation des lignes de courbure peut être