CHAPITRE \IV. — GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE

mise sous la forme

or r>y Sz

dX-h(qtC — rB)dv d{ + (rA-/)G)rfi- dC ■+- (p B — q A) dr

Mais il est plus commode d'utiliser ici l'équation des lignes asymptotiques ; L'angle désigné par i a en efVet, sur une ligne de courbure, une valeur deux fois moindre que sur la ligne asymptotique qui passe au même point. On aura donc l'équation des lignes de courbure en remplaçant i par ai dans l'équation (22), ce qui donne

( 2 "> ) 'itts \> 1 -+- m'-u- sinto cotât -t- GT2r«2-!- tts' u -+• (tz1 — gt) cosw = o.

Les questions analogues à celles que nous nous sommes posées plus haut sont évidemment résolues pour les lignes de courbure dès qu'elles le sont pour les lignes asymptotiques; pour donner un exemple d'un autre genre d'application de la formule (23), proposons-nous de trouver toutes les surfaces réglées dont les lignes de courbure de l'une des deux familles sont équidistantes de la ligne de striction. L'équation (23) doit être alors vérifiée identiquement par du = o, c'est-à-dire lorsqu'on a [formule (i5)]

tangi = y/1-4- m2 u- tangco,

d'où

1 \/ \ -h rrs2u- tangoj . îi/i + ra'-i^sinwcosw

tan g ii — - — - , tang2i = . . „ — •

1 — (i-f- vj-u-) tang2to COS210 — m-u* sin2o>

L'équation ( 23) devient alors, en supprimant des facteurs qui donneraient des cônes de révolution,

\tti- ru1 -\- m' u -+- (çjj — vi) cosw] cosoj -+- nr(cos 2«o — xs%ui sin2u>) = o

et les conditions qui déterminent la surface sont

ttt' = o, ttT|COs2oj- — crsin2w = o, /• cosco = nrsin2 tu.

La première exprime que ra reste constant, la seconde que la ligne de striction est une ligne de courbure, la troisième est une conséquence de la seconde; donc les surfaces réglées dont les lignes de première courbure sont équidistantes de la ligne de striction sont celles dont le paramètre de distribution est le

même pour toutes les génératrices et dont la ligne de striction est une ligne de courbure (P. Serret). Il est évident que l'hyperboloïde de révolution est un cas particulier de ce genre de surfaces.

Courbures principales. — On pourrait calculer les courbures principales à l'aide de la formule générale que nous avons donnée (§ 81) en coordonnées curvilignes. AJais il est préférable, quand on connaît l'équation des lignes de courbure, d'appliquer le théorème de O. Rodrigues à celui des trois axes de coordonnées qui paraît devoir fournir le calcul le plus simple. Il est tout naturel, ici, de choisir l'axe des z, ce qui donne

i ov p cos'j) dv

R o~ du -+- cosio dv

ou, en remplaçant le dénominateur par sa valeur qui est [formule (i5)]

du ri- dv costo = dv cou y/i -4- m- u- sin w, on a

coti sintu di -+■ bt2m2 i

K = , coscc = , p = — T7T «in tu.

d'où enfin

— toR î^-^ir"

Il suffit d'éliminer /entre cette équation et l'équation des lignes de courbure (23) pour avoir celle qui donne les courbures principales, savoir :

(•2 î ) 7T72R2 sin tu — R \/ 1 -f- to- u- [m1 ru1- -+- m'u -+- (tttj — w) eosto]

— (i -+- ta2 i*s)s sin u = o .

On peut se proposer, relativement aux courbures principales, des questions analogues à celles que nous avons traitées à propos de lignes de courbure ou des lignes asvmptotiques. Cherchons par exemple quelles sont les surfaces gauches dont la courbure moyenne reste constante, le long de chaque génératrice. On a en général, d'après l'équation (24),

1 1 m'1 ru'1 — m'u -+- (thi — nr)costO m— — ■

Ri R2 (H-TTT-«2)2Sinw *