CHAPITRE MX. — GÉOMÉTRIE CINÉMATIQUE

Pour toute surf'iicc répondant à la question on devra avoir identiquement

| BTS/'M2-t- Tff' U -+- (ttt, — 777) COStoJ2 = (ï -+- T7J2 U2 )3. S1I12 W . F (v ).

Si F(e)^±o on a nécessairement w = o et la surface est développable (terme en a6). Si F(e)=o on retombe sur les conditions

/• = o, ro'= o, a> = —qui caractérisent l'hélicoïde gauche; d'où ce théorème :

Théorème. — La courbure moyenne ne peut rester constante sur iliaque génératrice a" une surf ace réglée, non dévetoppab/e, que si elle est nulle en tous les points de la surface, qui est alors un hélicoïde gauche.

On peut voir de même qu'il n'existe aucune surface gauche à courbure totale constante. La courbure totale donnée par l'équation (a/j) a, en elïet, pour valeur

Ri R2 d -f- ra2u- y1

Elle ne pourrait demeurer constante le long de chaque génératrice que si i+st2;/2 se réduisait à une fonction de v. Or cela ne peut avoir lieu que si ttj = o, c'est-à-dire dans le cas des surfaces développantes.

Remarque. — Les propositions établies par la méthode cinématique s'étendent en général, en vertu du principe de continuité, au cas où la génératrice serait imaginaire; mais notre analyse, supposant variable le segment u de la génératrice, tombe en défaut dans le cas d'une génératrice isotrope; c'est pourquoi nous ne trouvons pas, comme solution du problème précédent, la sphère qui est cependant une surface réglée à courbure totale constante.

Surfaces cerclées. — La méthode cinématique s'applique facilement à l'étude de la surface engendrée par un cercle dont le rayon et la position varient d'une manière quelconque en fonction d'un paramètre v. Soient en effet Pi le rayon du cercle, O son centre; prenons pour deuxième coordonnée u l'angle que fait le rayon OM avec une direction fixe, qui sera par exemple celle de la caractéris-

tique du plan du cercle ; si l'on prend pour axe mobile OX le rayon parallèle à cette caractéristique, pour axe des r l'axe du cercle, les coordonnées relatives du point M seront

(25) ,r = Rcos». ^=Rsinw, .3 = 0

et l'on aura rj = o. Les formules (4) deviendront

ose = ( a'-f- R' cos m — rR sin h ) dv — R sina du, oy — ( b' -+■ R' si n 11 -h rR cos « ) dv ■+- R cos u du , 02 = (c'-t-joR si n u ) dv.

Il est commode de les écrire sous la forme suivante :

!ox = M cos u dv — ( R du -t- N dv ) sin », ÔV = M sin u dv -+- ( R du -+- N rfe ) cos u, 03 = Q rfe

en posant

( M = R' -4- a' cos w H- è' sin a, N — /R — a' sin u -+- b' cos?/, (27)

( Q = c' -+-pR sin m.

De ces formules, on déduirait sans peine, en suivant la même marche que pour les surfaces réglées, l'inclinaison i d'une ligne quelconque sur la génératrice circulaire, et les cosinus directeurs A, ij., v de la normale, puis, comme nous lavons fait plus haut, tout ce qui concerne les lignes asymptotiques, les lignes de courbure, les courbures principales, etc. On retrouverait ainsi, en ce qui concerne les normales, tous les résultats démontrés géométriquement au paragraphe <S,vi.

Nous nous contenterons d'ajouter à ces résultats la démonstration d'une propriété intéressante des trajectoires orthogonales des génératrices circulaires (Annales de I Ecole Normale, ae série, t. 11, p. 1J0).

D'après la formule (26) les cosinus directeurs delà tangente sont proportionnels, pour la génératrice circulaire à — sin //, cos u, o, pour les lignes dont l'équation différentielle est N dv -+- Wdu = o, à M cos M, A sin u, Q. Ces deux familles de lignes forment donc un réseau orthogonal et par suite l'équation des trajectoires orthogonales des génératrices est

r» f 1 - • r. dll

1 r R-h o cosu — a sin m) -f- R -r- = o.

dv