RÉSEAUX HARMONIQUES
90. Formules générales. — Les coordonnées rectangulaires x, y, s, d'un point quelconque M étant exprimées, sur une surface donnée, en fonction de deux coordonnées curvilignes m, p prennent, quand on passe d'un point M au point M' infiniment \oisin, des accroissements
dx dx , Oy . dy , dz , àz ,
— au h — — dv , ^— du h — — av. — au av.
Ou dv Ou ov Ou dv
et la distance MM' est donnée par la formule
>«>*/. , , •„ . „ ! Ox dx dy Oy Oz dz\ ,
MM'' = ds*=p du*+ 2{— — + -f-f-h-r—)dudv + g* dv*,
\ ou dv Ou dv Ou Ov )
en posant
Les deux couples de lignes coordonnées u = const., v = const. qui se coupent en ces deux points M, M' forment un quadrilatère curviligne MM,M'M2 dont les cotés sont infiniment petits, mais dont les angles ont des valeurs finies ; les angles opposés en M et en M' doivent donc être considérés comme égaux au point de vue infinitésimal et le quadrilatère MM,M'M2 comme un parallélogramme ; c'est ce qu'on exprime en disant que deux familles de lignes coordonnées quelconques décomposentla surface en parallélogramme s infiniment petits.
Nous désignerons en général par l'indice i les éléments analytiques delà courbe v = const.; par l'indice -i ceux de la courbe u = const. INous aurons alors, en conservant les notations dont nous nous sommes servi jusqu'ici pour les longueurs d'arcs et les cosinus directeurs des tangentes,
,„»„*/., i dx „ i dy \ dz
J du f du j ou
HT** , , i dx n i dy i dz
arc MM., = ds., = s dv, «.= , 32 = f-, y<> = — >
g dv g dv S ùv
L'angle w sous lequel se coupent les deux lignes coordonnées en un point quelconque M est donné par la formule
i I dx dx dy dy dz dz
cosio = ^-(- 1- -f- -j- -+- -r
Jg \du dv du dv du 09
et nous avons en définitive les formules
( i ) ds- =f- du* -+- if g cosw du dv -+- g- dv-,
,„. „ dx dx dy dy dz dz
(3) /Vcosto=- — -+■ -f- -f- -+- -•
ou dv du dv du dv
Considérons maintenant une ligne quelconque passant par le point M ; on peut la définir par les angles ietj.^*) qu'elle fait avec les deux lignes coordonnées {fig. 97); l'arc MM' = ds étant la somme géométrique des arcs MM, MM2 on a, en projetant sur O x,
a ds = a, dsi -4- a2 ils».
( l ) Nous supposons toujours t et/ comptés dans des sens tels qu'on ait w = 1-4-/ ; en d'autres termes/ est égal, par définition, au — i.
CHAl'ITIll-: XX.
COI mil ItK TANGENTIELLE.
Le triangle infiniment petit MM, AI', qui peut être considéré comme rectiligne, donne d'ailleurs les égalités de rapports
ds\ siny'
,ls,
sini
cls
sin tu
l'égalité précédente devient alors
a sin w = aj siny -+- a2 sint ;
deux autres équations analogues s'obtiennent en projetant le même
Fig- 97-
contour sur Oy et sur O;, et l'on a, en somme, les formules
i a sin w = < B sinco =
a sin to = v.\ siny -+- a2 sin i, B sin to = Si siny -f- B2 sin e, Y sin to = y, siny 4- y2 sin t,
auxquelles on doit adjoindre celles qui se rapportent aux lignes coordonnées, savoir :
i ôx Q i c*^
i à ft i èy
i~ sr dv' P* ~ e dv ' 2 —
r dû
i dz
Courbure d'une ligne quelconque. — Les formules (i), (2), (3), (4) et (5) contiennent toute la théorie des lignes tracées sur la surface, en coordonnées curvilignes. La première question à traiter après celle de la détermination de la tangente est la recherche de la courbure et de la normale principale. Si nous différen-
lions les formules (4) en tenant compte des formules générales de Serret-Frenetj nous obtenons trois relations telles que la suivante :
— — siii w -+- a cos to cho = da.^ sin j -+- doL2 sin i -4- «i cos / <tf/ -+- a2 cos i di .
ces relations font connaître, en chaque point de la courbe définie par les angles i ety, la courbure et les cosinus directeurs de la normale principale MP ; on en déduirait aisément ceux de la binormale et en dernier lieu le rayon de torsion.
Proposons-nous par exemple de calculer la courbure tangentielle, c'est-à-dire la courbure, au point M, de la courbe suivant laquelle la ligne considérée se projette sur le plan tangent en M. Nous avons vu que cette courbure, que nous désignerons par— } a pour exprès-
sion— ^— , ?j étant l'angle que fait avec le plan tangent à la surface
le plan osculateur de la ligne considérée. Soient alors MT la tangente, MP la normale principale, MT, la tangente à la courbe r = const. {fig. 98). On a dans le triède MPTT,
cosT\MP = sin/ cos MT; l'angle £7 est égal au supplément du dièdre MT, car ce dièdre
Fig. 98.
a pour laces le plan tangent MIT, et le plan osculateur MTP ; on aura donc en définitive
cosTi MP = — sin i" cos â = «ia'-H PiP'-H Yiï'-
Multiplions alors par at , 1\<\'{ l'équation précédemment obtenue et les deux équations analogues, puis faisons la somme : il vient
ds ... , sin 1 sin u) -+- cos 1 cosw a 10
— (aj d'x-z -t- (3, d'^-i ■+- -,'| d^2 ) sin i -+- cosy dj -t- cos co cos t di
